समाधान {l}{x+6y=27}{7x-3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 6 y = 27 } \\ { 7 x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=3$$

$$y=4$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+6y=27,7x-3y=9$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+6y=27$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 6y घटाउनुहोस्।

$$x=-6y+27$$

-6y+27 लाई x ले अर्को समीकरण 7x-3y=9 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$7\left(-6y+27\right)-3y=9$$

7 लाई -6y+27 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-42y+189-3y=9$$

-3y मा -42y जोड्नुहोस्

$$-45y+189=9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 189 घटाउनुहोस्।

$$-45y=-180$$

दुबैतिर -45 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=4$$

x=-6y+27 मा y लाई 4 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-6\times 4+27$$

-6 लाई 4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-24+27$$

-24 मा 27 जोड्नुहोस्

$$x=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=3,y=4$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+6y=27,7x-3y=9$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-6\times 7}&-\frac{6}{-3-6\times 7}\\-\frac{7}{-3-6\times 7}&\frac{1}{-3-6\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{2}{15}\\\frac{7}{45}&-\frac{1}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 27+\frac{2}{15}\times 9\\\frac{7}{45}\times 27-\frac{1}{45}\times 9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=3,y=4$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+6y=27,7x-3y=9$$

x र 7x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 7 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$7x+7\times 6y=7\times 27,7x-3y=9$$

सरल गर्नुहोस्।

$$7x+42y=189,7x-3y=9$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 7x+42y=189 बाट 7x-3y=9 घटाउनुहोस्।

$$7x-7x+42y+3y=189-9$$

-7x मा 7x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 7x र -7x राशी रद्द हुन्छन्।

$$42y+3y=189-9$$

3y मा 42y जोड्नुहोस्

$$45y=189-9$$

-9 मा 189 जोड्नुहोस्

$$45y=180$$

दुबैतिर 45 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=4$$

7x-3y=9 मा y लाई 4 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$7x-3\times 4=9$$

-3 लाई 4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$7x-12=9$$

समीकरणको दुबैतिर 12 जोड्नुहोस्।

$$7x=21$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=3,y=4$$