समाधान {l}{x+5y=1}{3x+4y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 5 y = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{16}{11} = 1\frac{5}{11} \approx 1.454545455$$

$$y=-\frac{1}{11}\approx -0.090909091$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+5y=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5y घटाउनुहोस्।

$$x=-5y+1$$

-5y+1 लाई x ले अर्को समीकरण 3x+4y=4 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(-5y+1\right)+4y=4$$

3 लाई -5y+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-15y+3+4y=4$$

4y मा -15y जोड्नुहोस्

$$-11y+3=4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3 घटाउनुहोस्।

$$-11y=1$$

दुबैतिर -11 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{1}{11}$$

x=-5y+1 मा y लाई -\frac{1}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-5\left(-\frac{1}{11}\right)+1$$

-5 लाई -\frac{1}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{11}+1$$

\frac{5}{11} मा 1 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{16}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-5\times 3}&-\frac{5}{4-5\times 3}\\-\frac{3}{4-5\times 3}&\frac{1}{4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}+\frac{5}{11}\times 4\\\frac{3}{11}-\frac{1}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{11}\\-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3x+3\times 5y=3,3x+4y=4$$

सरल गर्नुहोस्।

$$3x+15y=3,3x+4y=4$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 3x+15y=3 बाट 3x+4y=4 घटाउनुहोस्।

$$3x-3x+15y-4y=3-4$$

-3x मा 3x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 3x र -3x राशी रद्द हुन्छन्।

$$15y-4y=3-4$$

-4y मा 15y जोड्नुहोस्

$$11y=3-4$$

-4 मा 3 जोड्नुहोस्

$$11y=-1$$

दुबैतिर 11 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{1}{11}$$

3x+4y=4 मा y लाई -\frac{1}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x+4\left(-\frac{1}{11}\right)=4$$

4 लाई -\frac{1}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x-\frac{4}{11}=4$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{4}{11} जोड्नुहोस्।

$$3x=\frac{48}{11}$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{16}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$