समाधान {l}{x+5y=0}{2x+y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 5 y = 0 } \\ { 2 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{25}{9} = 2\frac{7}{9} \approx 2.777777778$$

$$y=-\frac{5}{9}\approx -0.555555556$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+5y=0,2x+y=5$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+5y=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5y घटाउनुहोस्।

$$x=-5y$$

-5y लाई x ले अर्को समीकरण 2x+y=5 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-5\right)y+y=5$$

2 लाई -5y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-10y+y=5$$

y मा -10y जोड्नुहोस्

$$-9y=5$$

दुबैतिर -9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{5}{9}$$

x=-5y मा y लाई -\frac{5}{9} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-5\left(-\frac{5}{9}\right)$$

-5 लाई -\frac{5}{9} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{25}{9}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{25}{9},y=-\frac{5}{9}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+5y=0,2x+y=5$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&5\\2&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-5\times 2}&-\frac{5}{1-5\times 2}\\-\frac{2}{1-5\times 2}&\frac{1}{1-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{5}{9}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\times 5\\-\frac{1}{9}\times 5\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{9}\\-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{25}{9},y=-\frac{5}{9}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+5y=0,2x+y=5$$

x र 2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2x+2\times 5y=0,2x+y=5$$

सरल गर्नुहोस्।

$$2x+10y=0,2x+y=5$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 2x+10y=0 बाट 2x+y=5 घटाउनुहोस्।

$$2x-2x+10y-y=-5$$

-2x मा 2x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 2x र -2x राशी रद्द हुन्छन्।

$$10y-y=-5$$

-y मा 10y जोड्नुहोस्

$$9y=-5$$

दुबैतिर 9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{5}{9}$$

2x+y=5 मा y लाई -\frac{5}{9} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2x-\frac{5}{9}=5$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{5}{9} जोड्नुहोस्।

$$2x=\frac{50}{9}$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{25}{9}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{25}{9},y=-\frac{5}{9}$$