समाधान {l}{x+3y=7}{3x+y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 7 } \\ { 3 x + y = 17 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+3y=7,3x+y=17$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+3y=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$x=-3y+7$$

-3y+7 लाई x ले अर्को समीकरण 3x+y=17 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(-3y+7\right)+y=17$$

3 लाई -3y+7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-9y+21+y=17$$

y मा -9y जोड्नुहोस्

$$-8y+21=17$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 21 घटाउनुहोस्।

$$-8y=-4$$

दुबैतिर -8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{2}$$

x=-3y+7 मा y लाई \frac{1}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-3\times \frac{1}{2}+7$$

-3 लाई \frac{1}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{2}+7$$

-\frac{3}{2} मा 7 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{11}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+3y=7,3x+y=17$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 3}&-\frac{3}{1-3\times 3}\\-\frac{3}{1-3\times 3}&\frac{1}{1-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 7+\frac{3}{8}\times 17\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{1}{8}\times 17\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+3y=7,3x+y=17$$

x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3x+3\times 3y=3\times 7,3x+y=17$$

सरल गर्नुहोस्।

$$3x+9y=21,3x+y=17$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 3x+9y=21 बाट 3x+y=17 घटाउनुहोस्।

$$3x-3x+9y-y=21-17$$

-3x मा 3x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 3x र -3x राशी रद्द हुन्छन्।

$$9y-y=21-17$$

-y मा 9y जोड्नुहोस्

$$8y=21-17$$

-17 मा 21 जोड्नुहोस्

$$8y=4$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{2}$$

3x+y=17 मा y लाई \frac{1}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x+\frac{1}{2}=17$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{1}{2} घटाउनुहोस्।

$$3x=\frac{33}{2}$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{11}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$