समाधान {l}{t+2s=-1}{s=t+10}

$$\left. \begin{array} { l } { t + 2 s = - 1 } \\ { s = t + 10 } \end{array} \right.$$

t, s को लागि हल गर्नुहोस्

$$t=-7$$

$$s=3$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट t घटाउनुहोस्।

$$s-t=10$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$t+2s=-1,-t+s=10$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको t लाई अलग गरी t का लागि हल गर्नुहोस्।

$$t+2s=-1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2s घटाउनुहोस्।

$$t=-2s-1$$

-2s-1 लाई t ले अर्को समीकरण -t+s=10 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\left(-2s-1\right)+s=10$$

-1 लाई -2s-1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2s+1+s=10$$

s मा 2s जोड्नुहोस्

$$3s+1=10$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 1 घटाउनुहोस्।

$$3s=9$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$s=3$$

t=-2s-1 मा s लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले t लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$t=-2\times 3-1$$

-2 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$t=-6-1$$

-6 मा -1 जोड्नुहोस्

$$t=-7$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$t=-7,s=3$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट t घटाउनुहोस्।

$$s-t=10$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$t+2s=-1,-t+s=10$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-2\left(-1\right)}&\frac{1}{1-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-1\right)-\frac{2}{3}\times 10\\\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू t र s लाई ता्नुहोस्।

$$t=-7,s=3$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट t घटाउनुहोस्।

$$s-t=10$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$t+2s=-1,-t+s=10$$

t र -t लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-t-2s=-\left(-1\right),-t+s=10$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-t-2s=1,-t+s=10$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -t-2s=1 बाट -t+s=10 घटाउनुहोस्।

$$-t+t-2s-s=1-10$$

t मा -t जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -t र t राशी रद्द हुन्छन्।

$$-2s-s=1-10$$

-s मा -2s जोड्नुहोस्

$$-3s=1-10$$

-10 मा 1 जोड्नुहोस्

$$-3s=-9$$

दुबैतिर -3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$s=3$$

-t+s=10 मा s लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले t लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-t+3=10$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3 घटाउनुहोस्।

$$-t=7$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$t=-7$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$t=-7,s=3$$