समाधान {l}{p+b=130}{p+1.09b=136.75}

$$\left. \begin{array} { l } { p + b = 130 } \\ { p + 1.09 b = 136.75 } \end{array} \right.$$

p, b को लागि हल गर्नुहोस्

$$p=55$$

$$b=75$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$p+b=130,p+1.09b=136.75$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको p लाई अलग गरी p का लागि हल गर्नुहोस्।

$$p+b=130$$

समीकरणको दुबैतिरबाट b घटाउनुहोस्।

$$p=-b+130$$

-b+130 लाई p ले अर्को समीकरण p+1.09b=136.75 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-b+130+1.09b=136.75$$

\frac{109b}{100} मा -b जोड्नुहोस्

$$0.09b+130=136.75$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 130 घटाउनुहोस्।

$$0.09b=6.75$$

समीकरणको दुबैतिर 0.09 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$b=75$$

p=-b+130 मा b लाई 75 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले p लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$p=-75+130$$

-75 मा 130 जोड्नुहोस्

$$p=55$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$p=55,b=75$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$p+b=130,p+1.09b=136.75$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1.09}{1.09-1}&-\frac{1}{1.09-1}\\-\frac{1}{1.09-1}&\frac{1}{1.09-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{109}{9}&-\frac{100}{9}\\-\frac{100}{9}&\frac{100}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{109}{9}\times 130-\frac{100}{9}\times 136.75\\-\frac{100}{9}\times 130+\frac{100}{9}\times 136.75\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55\\75\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू p र b लाई ता्नुहोस्।

$$p=55,b=75$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$p+b=130,p+1.09b=136.75$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर p+b=130 बाट p+1.09b=136.75 घटाउनुहोस्।

$$p-p+b-1.09b=130-136.75$$

-p मा p जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै p र -p राशी रद्द हुन्छन्।

$$b-1.09b=130-136.75$$

-\frac{109b}{100} मा b जोड्नुहोस्

$$-0.09b=130-136.75$$

-136.75 मा 130 जोड्नुहोस्

$$-0.09b=-6.75$$

समीकरणको दुबैतिर -0.09 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$b=75$$

p+1.09b=136.75 मा b लाई 75 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले p लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$p+1.09\times 75=136.75$$

1.09 लाई 75 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$p+81.75=136.75$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 81.75 घटाउनुहोस्।

$$p=55$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$p=55,b=75$$