समाधान {l}{p+2q=4}{-3p+4q=18}

$$\left. \begin{array} { l } { p + 2 q = 4 } \\ { - 3 p + 4 q = 18 } \end{array} \right.$$

p, q को लागि हल गर्नुहोस्

$$p=-2$$

$$q=3$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको p लाई अलग गरी p का लागि हल गर्नुहोस्।

$$p+2q=4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2q घटाउनुहोस्।

$$p=-2q+4$$

-2q+4 लाई p ले अर्को समीकरण -3p+4q=18 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-3\left(-2q+4\right)+4q=18$$

-3 लाई -2q+4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$6q-12+4q=18$$

4q मा 6q जोड्नुहोस्

$$10q-12=18$$

समीकरणको दुबैतिर 12 जोड्नुहोस्।

$$10q=30$$

दुबैतिर 10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$q=3$$

p=-2q+4 मा q लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले p लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$p=-2\times 3+4$$

-2 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$p=-6+4$$

-6 मा 4 जोड्नुहोस्

$$p=-2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$p=-2,q=3$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{4-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4-2\left(-3\right)}&\frac{1}{4-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 4-\frac{1}{5}\times 18\\\frac{3}{10}\times 4+\frac{1}{10}\times 18\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू p र q लाई ता्नुहोस्।

$$p=-2,q=3$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

p र -3p लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-3p-3\times 2q=-3\times 4,-3p+4q=18$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-3p-6q=-12,-3p+4q=18$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -3p-6q=-12 बाट -3p+4q=18 घटाउनुहोस्।

$$-3p+3p-6q-4q=-12-18$$

3p मा -3p जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -3p र 3p राशी रद्द हुन्छन्।

$$-6q-4q=-12-18$$

-4q मा -6q जोड्नुहोस्

$$-10q=-12-18$$

-18 मा -12 जोड्नुहोस्

$$-10q=-30$$

दुबैतिर -10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$q=3$$

-3p+4q=18 मा q लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले p लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-3p+4\times 3=18$$

4 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-3p+12=18$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 12 घटाउनुहोस्।

$$-3p=6$$

दुबैतिर -3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$p=-2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$p=-2,q=3$$