समाधान {l}{n+y=4}{2n+3y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { n + y = 4 } \\ { 2 n + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

n, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$y=4$$

$$n=0$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$n+y=4,2n+3y=12$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको n लाई अलग गरी n का लागि हल गर्नुहोस्।

$$n+y=4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$n=-y+4$$

-y+4 लाई n ले अर्को समीकरण 2n+3y=12 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-y+4\right)+3y=12$$

2 लाई -y+4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-2y+8+3y=12$$

3y मा -2y जोड्नुहोस्

$$y+8=12$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 8 घटाउनुहोस्।

$$y=4$$

n=-y+4 मा y लाई 4 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले n लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$n=-4+4$$

-4 मा 4 जोड्नुहोस्

$$n=0$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$n=0,y=4$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$n+y=4,2n+3y=12$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{1}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 4-12\\-2\times 4+12\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू n र y लाई ता्नुहोस्।

$$n=0,y=4$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$n+y=4,2n+3y=12$$

n र 2n लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2n+2y=2\times 4,2n+3y=12$$

सरल गर्नुहोस्।

$$2n+2y=8,2n+3y=12$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 2n+2y=8 बाट 2n+3y=12 घटाउनुहोस्।

$$2n-2n+2y-3y=8-12$$

-2n मा 2n जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 2n र -2n राशी रद्द हुन्छन्।

$$2y-3y=8-12$$

-3y मा 2y जोड्नुहोस्

$$-y=8-12$$

-12 मा 8 जोड्नुहोस्

$$-y=-4$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=4$$

2n+3y=12 मा y लाई 4 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले n लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2n+3\times 4=12$$

3 लाई 4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2n+12=12$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 12 घटाउनुहोस्।

$$2n=0$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$n=0$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$n=0,y=4$$