x, y को लागि हल गर्नुहोस् (complex solution)
x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}
y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}
m\neq -i\text{ and }m\neq i
x, y को लागि हल गर्नुहोस्
x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}
y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}
ग्राफ
साझेदारी गर्नुहोस्
क्लिपबोर्डमा प्रतिलिपि गरियो
mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0
प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।
mx-y+1-3m=0
समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।
mx-y=3m-1
समीकरणको दुबैतिरबाट -3m+1 घटाउनुहोस्।
mx=y+3m-1
समीकरणको दुबैतिर y जोड्नुहोस्।
x=\frac{1}{m}\left(y+3m-1\right)
दुबैतिर m ले भाग गर्नुहोस्।
x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}
\frac{1}{m} लाई y+3m-1 पटक गुणन गर्नुहोस्।
\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}+my-3m-1=0
\frac{y-1+3m}{m} लाई x ले अर्को समीकरण x+my-3m-1=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।
\left(m+\frac{1}{m}\right)y+3-\frac{1}{m}-3m-1=0
my मा \frac{y}{m} जोड्नुहोस्
\left(m+\frac{1}{m}\right)y-3m+2-\frac{1}{m}=0
-3m-1 मा 3-\frac{1}{m} जोड्नुहोस्
\left(m+\frac{1}{m}\right)y=3m-2+\frac{1}{m}
समीकरणको दुबैतिरबाट 2-\frac{1}{m}-3m घटाउनुहोस्।
y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}
दुबैतिर m+\frac{1}{m} ले भाग गर्नुहोस्।
x=\frac{1}{m}\times \frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}+3-\frac{1}{m}
x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m} मा y लाई \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।
x=\frac{3m^{2}-2m+1}{m\left(m^{2}+1\right)}+3-\frac{1}{m}
\frac{1}{m} लाई \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1} पटक गुणन गर्नुहोस्।
x=\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)}
\frac{3m^{2}+1-2m}{m\left(m^{2}+1\right)} मा 3-\frac{1}{m} जोड्नुहोस्
x=\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}
अब प्रणाली समाधान भएको छ।
mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0
समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)
समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।
inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)
समीकरणलाई \left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)
म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)
बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{mm-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{mm-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{mm-\left(-1\right)}&\frac{m}{mm-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)
2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}&\frac{1}{m^{2}+1}\\-\frac{1}{m^{2}+1}&\frac{m}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)
हिसाब गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m-1\right)+\frac{1}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\\\left(-\frac{1}{m^{2}+1}\right)\left(3m-1\right)+\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\end{matrix}\right)
मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}\\\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)
हिसाब गर्नुहोस्।
x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}
मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।
mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0
निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।
mx-y+1-3m=0,mx+mmy+m\left(-3m-1\right)=0
mx र x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई m ले गुणन गर्नुहोस्।
mx-y+1-3m=0,mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0
सरल गर्नुहोस्।
mx+\left(-m\right)x-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0
बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर mx-y+1-3m=0 बाट mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0 घटाउनुहोस्।
-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0
-mx मा mx जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै mx र -mx राशी रद्द हुन्छन्।
\left(-m^{2}-1\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0
-m^{2}y मा -y जोड्नुहोस्
\left(-m^{2}-1\right)y+3m^{2}-2m+1=0
m\left(3m+1\right) मा -3m+1 जोड्नुहोस्
\left(-m^{2}-1\right)y=-3m^{2}+2m-1
समीकरणको दुबैतिरबाट -2m+1+3m^{2} घटाउनुहोस्।
y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}
दुबैतिर -1-m^{2} ले भाग गर्नुहोस्।
x+m\left(-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}\right)-3m-1=0
x+my-3m-1=0 मा y लाई -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।
x-\frac{m\left(-3m^{2}+2m-1\right)}{m^{2}+1}-3m-1=0
m लाई -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}} पटक गुणन गर्नुहोस्।
x-\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)}=0
-3m-1 मा -\frac{m\left(2m-1-3m^{2}\right)}{1+m^{2}} जोड्नुहोस्
x=\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)}
समीकरणको दुबैतिर \frac{2m+3m^{2}+1}{\left(m+i\right)\left(m-i\right)} जोड्नुहोस्।
x=\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)},y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}
अब प्रणाली समाधान भएको छ।
mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0
प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।
mx-y+1-3m=0
समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।
mx-y=3m-1
समीकरणको दुबैतिरबाट -3m+1 घटाउनुहोस्।
mx=y+3m-1
समीकरणको दुबैतिर y जोड्नुहोस्।
x=\frac{1}{m}\left(y+3m-1\right)
दुबैतिर m ले भाग गर्नुहोस्।
x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}
\frac{1}{m} लाई y+3m-1 पटक गुणन गर्नुहोस्।
\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}+my-3m-1=0
\frac{y-1+3m}{m} लाई x ले अर्को समीकरण x+my-3m-1=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।
\left(m+\frac{1}{m}\right)y+3-\frac{1}{m}-3m-1=0
my मा \frac{y}{m} जोड्नुहोस्
\left(m+\frac{1}{m}\right)y-3m+2-\frac{1}{m}=0
-3m-1 मा 3-\frac{1}{m} जोड्नुहोस्
\left(m+\frac{1}{m}\right)y=3m-2+\frac{1}{m}
समीकरणको दुबैतिरबाट 2-\frac{1}{m}-3m घटाउनुहोस्।
y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}
दुबैतिर m+\frac{1}{m} ले भाग गर्नुहोस्।
x=\frac{1}{m}\times \frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}+3-\frac{1}{m}
x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m} मा y लाई \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।
x=\frac{3m^{2}-2m+1}{m\left(m^{2}+1\right)}+3-\frac{1}{m}
\frac{1}{m} लाई \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1} पटक गुणन गर्नुहोस्।
x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}
\frac{3m^{2}+1-2m}{m\left(m^{2}+1\right)} मा 3-\frac{1}{m} जोड्नुहोस्
x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}
अब प्रणाली समाधान भएको छ।
mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0
समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)
समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।
inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)
समीकरणलाई \left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)
म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)
बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{mm-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{mm-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{mm-\left(-1\right)}&\frac{m}{mm-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)
2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}&\frac{1}{m^{2}+1}\\-\frac{1}{m^{2}+1}&\frac{m}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)
हिसाब गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m-1\right)+\frac{1}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\\\left(-\frac{1}{m^{2}+1}\right)\left(3m-1\right)+\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\end{matrix}\right)
मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}\\\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)
हिसाब गर्नुहोस्।
x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}
मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।
mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0
निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।
mx-y+1-3m=0,mx+mmy+m\left(-3m-1\right)=0
mx र x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई m ले गुणन गर्नुहोस्।
mx-y+1-3m=0,mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0
सरल गर्नुहोस्।
mx+\left(-m\right)x-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0
बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर mx-y+1-3m=0 बाट mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0 घटाउनुहोस्।
-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0
-mx मा mx जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै mx र -mx राशी रद्द हुन्छन्।
\left(-m^{2}-1\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0
-m^{2}y मा -y जोड्नुहोस्
\left(-m^{2}-1\right)y+3m^{2}-2m+1=0
m\left(3m+1\right) मा -3m+1 जोड्नुहोस्
\left(-m^{2}-1\right)y=-3m^{2}+2m-1
समीकरणको दुबैतिरबाट -2m+1+3m^{2} घटाउनुहोस्।
y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}
दुबैतिर -1-m^{2} ले भाग गर्नुहोस्।
x+m\left(-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}\right)-3m-1=0
x+my-3m-1=0 मा y लाई -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।
x-\frac{m\left(-3m^{2}+2m-1\right)}{m^{2}+1}-3m-1=0
m लाई -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}} पटक गुणन गर्नुहोस्।
x-\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}=0
-3m-1 मा -\frac{m\left(2m-1-3m^{2}\right)}{1+m^{2}} जोड्नुहोस्
x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}
समीकरणको दुबैतिर \frac{2m+3m^{2}+1}{1+m^{2}} जोड्नुहोस्।
x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}
अब प्रणाली समाधान भएको छ।
उदाहरणहरू[सम्पादन गर्ने]
द्विघात समीकरण
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
त्रिकोणमिति
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
रैखिक समीकरण
y = 3x + 4
अंकगणित
699 * 533
म्याट्रिक्स
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
समकालिक समीकरण
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
भिन्नता
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integration
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
सीमाहरू
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}