समाधान {l}{mx-ny=m^2+n^2}{x+y=2m}

$$\left. \begin{array} { l } { m x - n y = m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } \\ { x + y = 2 m } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस् (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

समीकरणको दुबैतिर ny जोड्नुहोस्।

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

दुबैतिर m ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

\frac{1}{m} लाई ny+m^{2}+n^{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

\frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} लाई x ले अर्को समीकरण x+y=2m मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

y मा \frac{ny}{m} जोड्नुहोस्

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

समीकरणको दुबैतिरबाट m+\frac{n^{2}}{m} घटाउनुहोस्।

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

दुबैतिर \frac{m+n}{m} ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=m-n$$

x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m मा y लाई m-n ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

\frac{n}{m} लाई m-n पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

\frac{n\left(m-n\right)}{m} मा m+\frac{n^{2}}{m} जोड्नुहोस्

$$x=m+n$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=m+n,y=m-n$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=m+n,y=m-n$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

mx र x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई m ले गुणन गर्नुहोस्।

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

सरल गर्नुहोस्।

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} बाट mx+my=2m^{2} घटाउनुहोस्।

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-mx मा mx जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै mx र -mx राशी रद्द हुन्छन्।

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-my मा -ny जोड्नुहोस्

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-2m^{2} मा m^{2}+n^{2} जोड्नुहोस्

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

दुबैतिर -m-n ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=m-n$$

x+y=2m मा y लाई m-n ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x+m-n=2m$$

समीकरणको दुबैतिरबाट m-n घटाउनुहोस्।

$$x=m+n$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=m+n,y=m-n$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

समीकरणको दुबैतिर ny जोड्नुहोस्।

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

दुबैतिर m ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

\frac{1}{m} लाई ny+m^{2}+n^{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

\frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} लाई x ले अर्को समीकरण x+y=2m मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

y मा \frac{ny}{m} जोड्नुहोस्

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

समीकरणको दुबैतिरबाट m+\frac{n^{2}}{m} घटाउनुहोस्।

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

दुबैतिर \frac{m+n}{m} ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=m-n$$

x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m मा y लाई m-n ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

\frac{n}{m} लाई m-n पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

\frac{n\left(m-n\right)}{m} मा m+\frac{n^{2}}{m} जोड्नुहोस्

$$x=m+n$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=m+n,y=m-n$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=m+n,y=m-n$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

mx र x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई m ले गुणन गर्नुहोस्।

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

सरल गर्नुहोस्।

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} बाट mx+my=2m^{2} घटाउनुहोस्।

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-mx मा mx जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै mx र -mx राशी रद्द हुन्छन्।

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-my मा -ny जोड्नुहोस्

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-2m^{2} मा m^{2}+n^{2} जोड्नुहोस्

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

दुबैतिर -m-n ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=m-n$$

x+y=2m मा y लाई m-n ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x+m-n=2m$$

समीकरणको दुबैतिरबाट m-n घटाउनुहोस्।

$$x=m+n$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=m+n,y=m-n$$