समाधान {l}{f(x)=y+7}{f(y)=9x+8}

$$\left. \begin{array} { l } { f ( x ) = y + 7 } \\ { f ( y ) = 9 x + 8 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस् (complex solution)

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$f\neq -3\text{ and }f\neq 3$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट y घटाउनुहोस्।

$$fx-y=7$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 9x घटाउनुहोस्।

$$fy-9x=8$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$fx-y=7$$

समीकरणको दुबैतिर y जोड्नुहोस्।

$$fx=y+7$$

दुबैतिर f ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

\frac{1}{f} लाई y+7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

\frac{7+y}{f} लाई x ले अर्को समीकरण -9x+fy=8 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

-9 लाई \frac{7+y}{f} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

fy मा -\frac{9y}{f} जोड्नुहोस्

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{63}{f} जोड्नुहोस्।

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

दुबैतिर f-\frac{9}{f} ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f} मा y लाई \frac{63+8f}{f^{2}-9} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

\frac{1}{f} लाई \frac{63+8f}{f^{2}-9} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

\frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)} मा \frac{7}{f} जोड्नुहोस्

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट y घटाउनुहोस्।

$$fx-y=7$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 9x घटाउनुहोस्।

$$fy-9x=8$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट y घटाउनुहोस्।

$$fx-y=7$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 9x घटाउनुहोस्।

$$fy-9x=8$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

fx र -9x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -9 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई f ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

सरल गर्नुहोस्।

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर \left(-9f\right)x+9y=-63 बाट \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f घटाउनुहोस्।

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

9fx मा -9fx जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -9fx र 9fx राशी रद्द हुन्छन्।

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-f^{2}y मा 9y जोड्नुहोस्

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-8f मा -63 जोड्नुहोस्

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

दुबैतिर -f^{2}+9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

-9x+fy=8 मा y लाई -\frac{63+8f}{9-f^{2}} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

f लाई -\frac{63+8f}{9-f^{2}} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} जोड्नुहोस्।

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

दुबैतिर -9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$|f|\neq 3$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट y घटाउनुहोस्।

$$fx-y=7$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 9x घटाउनुहोस्।

$$fy-9x=8$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$fx-y=7$$

समीकरणको दुबैतिर y जोड्नुहोस्।

$$fx=y+7$$

दुबैतिर f ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

\frac{1}{f} लाई y+7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

\frac{7+y}{f} लाई x ले अर्को समीकरण -9x+fy=8 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

-9 लाई \frac{7+y}{f} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

fy मा -\frac{9y}{f} जोड्नुहोस्

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{63}{f} जोड्नुहोस्।

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

दुबैतिर f-\frac{9}{f} ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f} मा y लाई \frac{63+8f}{f^{2}-9} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

\frac{1}{f} लाई \frac{63+8f}{f^{2}-9} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

\frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)} मा \frac{7}{f} जोड्नुहोस्

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट y घटाउनुहोस्।

$$fx-y=7$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 9x घटाउनुहोस्।

$$fy-9x=8$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट y घटाउनुहोस्।

$$fx-y=7$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 9x घटाउनुहोस्।

$$fy-9x=8$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

fx र -9x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -9 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई f ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

सरल गर्नुहोस्।

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर \left(-9f\right)x+9y=-63 बाट \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f घटाउनुहोस्।

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

9fx मा -9fx जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -9fx र 9fx राशी रद्द हुन्छन्।

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-f^{2}y मा 9y जोड्नुहोस्

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-8f मा -63 जोड्नुहोस्

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

दुबैतिर -f^{2}+9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

-9x+fy=8 मा y लाई -\frac{63+8f}{9-f^{2}} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

f लाई -\frac{63+8f}{9-f^{2}} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} जोड्नुहोस्।

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

दुबैतिर -9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$