समाधान {l}{cx+y=69}{2x+y=87}

$$\left. \begin{array} { l } { c x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 87 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

$$y=-\frac{3\left(46-29c\right)}{c-2}$$

$$c\neq 2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$cx+y=69,2x+y=87$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$cx+y=69$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$cx=-y+69$$

दुबैतिर c ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{c}\left(-y+69\right)$$

\frac{1}{c} लाई -y+69 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}$$

\frac{69-y}{c} लाई x ले अर्को समीकरण 2x+y=87 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}\right)+y=87$$

2 लाई \frac{69-y}{c} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(-\frac{2}{c}\right)y+\frac{138}{c}+y=87$$

y मा -\frac{2y}{c} जोड्नुहोस्

$$\frac{c-2}{c}y+\frac{138}{c}=87$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{138}{c} घटाउनुहोस्।

$$\frac{c-2}{c}y=87-\frac{138}{c}$$

दुबैतिर \frac{-2+c}{c} ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c} मा y लाई \frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)\times \frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}+\frac{69}{c}$$

-\frac{1}{c} लाई \frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{3\left(29c-46\right)}{c\left(c-2\right)}+\frac{69}{c}$$

-\frac{3\left(-46+29c\right)}{c\left(-2+c\right)} मा \frac{69}{c} जोड्नुहोस्

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$cx+y=69,2x+y=87$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}&-\frac{1}{c-2}\\-\frac{2}{c-2}&\frac{c}{c-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}\times 69+\left(-\frac{1}{c-2}\right)\times 87\\\left(-\frac{2}{c-2}\right)\times 69+\frac{c}{c-2}\times 87\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{c-2}\\\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$cx+y=69,2x+y=87$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर cx+y=69 बाट 2x+y=87 घटाउनुहोस्।

$$cx-2x+y-y=69-87$$

-y मा y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै y र -y राशी रद्द हुन्छन्।

$$cx-2x=69-87$$

-2x मा cx जोड्नुहोस्

$$\left(c-2\right)x=69-87$$

-87 मा 69 जोड्नुहोस्

$$\left(c-2\right)x=-18$$

दुबैतिर c-2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

2x+y=87 मा x लाई -\frac{18}{c-2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2\left(-\frac{18}{c-2}\right)+y=87$$

2 लाई -\frac{18}{c-2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{36}{c-2}+y=87$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{36}{c-2} जोड्नुहोस्।

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$