समाधान {l}{b*12x-15y=-4}{16x+10y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { b \cdot 12 x - 15 y = - 4 } \\ { 16 x + 10 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

$$b\neq -2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$12bx-15y=-4$$

समीकरणको दुबैतिर 15y जोड्नुहोस्।

$$12bx=15y-4$$

दुबैतिर 12b ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{12b}\left(15y-4\right)$$

\frac{1}{12b} लाई 15y-4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}$$

\frac{-4+15y}{12b} लाई x ले अर्को समीकरण 16x+10y=7 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$16\left(\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}\right)+10y=7$$

16 लाई \frac{-4+15y}{12b} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{20}{b}y-\frac{16}{3b}+10y=7$$

10y मा \frac{20y}{b} जोड्नुहोस्

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y-\frac{16}{3b}=7$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{16}{3b} जोड्नुहोस्।

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y=7+\frac{16}{3b}$$

दुबैतिर \frac{20}{b}+10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b} मा y लाई \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{5}{4b}\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

\frac{5}{4b} लाई \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{21b+16}{24b\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

\frac{16+21b}{24b\left(2+b\right)} मा -\frac{1}{3b} जोड्नुहोस्

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&-\frac{-15}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\\-\frac{16}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&\frac{12b}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}&\frac{1}{8\left(b+2\right)}\\-\frac{2}{15\left(b+2\right)}&\frac{b}{10\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}\left(-4\right)+\frac{1}{8\left(b+2\right)}\times 7\\\left(-\frac{2}{15\left(b+2\right)}\right)\left(-4\right)+\frac{b}{10\left(b+2\right)}\times 7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{24\left(b+2\right)}\\\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

12bx र 16x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 16 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 12b ले गुणन गर्नुहोस्।

$$16\times 12bx+16\left(-15\right)y=16\left(-4\right),12b\times 16x+12b\times 10y=12b\times 7$$

सरल गर्नुहोस्।

$$192bx-240y=-64,192bx+120by=84b$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 192bx-240y=-64 बाट 192bx+120by=84b घटाउनुहोस्।

$$192bx+\left(-192b\right)x-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

-192bx मा 192bx जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 192bx र -192bx राशी रद्द हुन्छन्।

$$-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

-120by मा -240y जोड्नुहोस्

$$\left(-120b-240\right)y=-64-84b$$

-84b मा -64 जोड्नुहोस्

$$\left(-120b-240\right)y=-84b-64$$

दुबैतिर -240-120b ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

16x+10y=7 मा y लाई \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$16x+10\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}=7$$

10 लाई \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$16x+\frac{21b+16}{3\left(b+2\right)}=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{16+21b}{3\left(2+b\right)} घटाउनुहोस्।

$$16x=\frac{26}{3\left(b+2\right)}$$

दुबैतिर 16 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$