समाधान {l}{ax+y+1=0}{x+y-a=0}

$$\left. \begin{array} { l } { a x + y + 1 = 0 } \\ { x + y - a = 0 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{a+1}{a-1}$$

$$y=\frac{a^{2}+1}{a-1}$$

$$a\neq 1$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$ax+y+1=0,x+y-a=0$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$ax+y+1=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 1 घटाउनुहोस्।

$$ax+y=-1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$ax=-y-1$$

दुबैतिर a ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{a}\left(-y-1\right)$$

\frac{1}{a} लाई -y-1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\left(-\frac{1}{a}\right)y-\frac{1}{a}$$

-\frac{1+y}{a} लाई x ले अर्को समीकरण x+y-a=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\left(-\frac{1}{a}\right)y-\frac{1}{a}+y-a=0$$

y मा -\frac{y}{a} जोड्नुहोस्

$$\frac{a-1}{a}y-\frac{1}{a}-a=0$$

-a मा -\frac{1}{a} जोड्नुहोस्

$$\frac{a-1}{a}y-a-\frac{1}{a}=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट -\frac{1}{a}-a घटाउनुहोस्।

$$\frac{a-1}{a}y=a+\frac{1}{a}$$

दुबैतिर \frac{-1+a}{a} ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{a^{2}+1}{a-1}$$

x=\left(-\frac{1}{a}\right)y-\frac{1}{a} मा y लाई \frac{a^{2}+1}{-1+a} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\left(-\frac{1}{a}\right)\times \frac{a^{2}+1}{a-1}-\frac{1}{a}$$

-\frac{1}{a} लाई \frac{a^{2}+1}{-1+a} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{a^{2}+1}{a\left(a-1\right)}-\frac{1}{a}$$

-\frac{a^{2}+1}{a\left(-1+a\right)} मा -\frac{1}{a} जोड्नुहोस्

$$x=-\frac{a+1}{a-1}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{a+1}{a-1},y=\frac{a^{2}+1}{a-1}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$ax+y+1=0,x+y-a=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\a\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}a&1\\1&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\a\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\a\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\a\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{a-1}&-\frac{1}{a-1}\\-\frac{1}{a-1}&\frac{a}{a-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\a\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{a-1}\left(-1\right)+\left(-\frac{1}{a-1}\right)a\\\left(-\frac{1}{a-1}\right)\left(-1\right)+\frac{a}{a-1}a\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a+1}{a-1}\\\frac{a^{2}+1}{a-1}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{a+1}{a-1},y=\frac{a^{2}+1}{a-1}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$ax+y+1=0,x+y-a=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर ax+y+1=0 बाट x+y-a=0 घटाउनुहोस्।

$$ax-x+y-y+1+a=0$$

-y मा y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै y र -y राशी रद्द हुन्छन्।

$$ax-x+1+a=0$$

-x मा ax जोड्नुहोस्

$$\left(a-1\right)x+1+a=0$$

a मा 1 जोड्नुहोस्

$$\left(a-1\right)x+a+1=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 1+a घटाउनुहोस्।

$$\left(a-1\right)x=-\left(a+1\right)$$

दुबैतिर a-1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{a+1}{a-1}$$

x+y-a=0 मा x लाई -\frac{1+a}{a-1} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-\frac{a+1}{a-1}+y-a=0$$

-a मा -\frac{1+a}{a-1} जोड्नुहोस्

$$y-\frac{a^{2}+1}{a-1}=0$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{1+a^{2}}{a-1} जोड्नुहोस्।

$$y=\frac{a^{2}+1}{a-1}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{a+1}{a-1},y=\frac{a^{2}+1}{a-1}$$