समाधान {l}{ax+by=c}{a^2x+b^2y=c}

$$\left. \begin{array} { l } { a x + b y = c } \\ { a ^ { 2 } x + b ^ { 2 } y = c } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस् (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(b-a\right)}\text{, }y=-\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(b-a\right)}\text{, }&b\neq 0\text{ and }a\neq b\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-c}{a}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&\left(c=0\text{ and }b=0\text{ and }a\neq 0\right)\text{ or }\left(c=0\text{ and }a=b\text{ and }b\neq 0\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=1\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=0\right)\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&c=0\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=c\text{, }&b=1\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&c=0\text{ and }b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$ax+by=c$$

समीकरणको दुबैतिरबाट by घटाउनुहोस्।

$$ax=\left(-b\right)y+c$$

दुबैतिर a ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+c\right)$$

\frac{1}{a} लाई -by+c पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}$$

\frac{-by+c}{a} लाई x ले अर्को समीकरण a^{2}x+b^{2}y=c मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$a^{2}\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}\right)+b^{2}y=c$$

a^{2} लाई \frac{-by+c}{a} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(-ab\right)y+ac+b^{2}y=c$$

b^{2}y मा -bay जोड्नुहोस्

$$b\left(b-a\right)y+ac=c$$

समीकरणको दुबैतिरबाट ca घटाउनुहोस्।

$$b\left(b-a\right)y=c-ac$$

दुबैतिर b\left(b-a\right) ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a} मा y लाई \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

-\frac{b}{a} लाई \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{c\left(1-a\right)}{a\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

-\frac{\left(1-a\right)c}{\left(b-a\right)a} मा \frac{c}{a} जोड्नुहोस्

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&-\frac{b}{ab^{2}-ba^{2}}\\-\frac{a^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&\frac{a}{ab^{2}-ba^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}&-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\\-\frac{a}{b\left(b-a\right)}&\frac{1}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}c+\left(-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\right)c\\\left(-\frac{a}{b\left(b-a\right)}\right)c+\frac{1}{b\left(b-a\right)}c\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}\\\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

ax र a^{2}x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई a^{2} ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई a ले गुणन गर्नुहोस्।

$$a^{2}ax+a^{2}by=a^{2}c,aa^{2}x+ab^{2}y=ac$$

सरल गर्नुहोस्।

$$a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2},a^{3}x+ab^{2}y=ac$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2} बाट a^{3}x+ab^{2}y=ac घटाउनुहोस्।

$$a^{3}x+\left(-a^{3}\right)x+ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

-a^{3}x मा a^{3}x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै a^{3}x र -a^{3}x राशी रद्द हुन्छन्।

$$ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

-ab^{2}y मा a^{2}by जोड्नुहोस्

$$ab\left(a-b\right)y=ca^{2}-ac$$

-ac मा a^{2}c जोड्नुहोस्

$$ab\left(a-b\right)y=ac\left(a-1\right)$$

दुबैतिर ab\left(a-b\right) ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

a^{2}x+b^{2}y=c मा y लाई \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a^{2}x+b^{2}\times \frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}=c$$

b^{2} लाई \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a^{2}x+\frac{bc\left(a-1\right)}{a-b}=c$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{b\left(-1+a\right)c}{a-b} घटाउनुहोस्।

$$a^{2}x=\frac{ac\left(1-b\right)}{a-b}$$

दुबैतिर a^{2} ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)},y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(b-a\right)}\text{, }y=-\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(b-a\right)}\text{, }&b\neq 0\text{ and }a\neq b\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-c}{a}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&\left(c=0\text{ and }b=0\text{ and }a\neq 0\right)\text{ or }\left(c=0\text{ and }a=b\text{ and }b\neq 0\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=1\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=0\right)\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&c=0\text{ and }a=0\text{ and }b\neq 1\text{ and }b\neq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=c\text{, }&b=1\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&c=0\text{ and }b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$ax+by=c$$

समीकरणको दुबैतिरबाट by घटाउनुहोस्।

$$ax=\left(-b\right)y+c$$

दुबैतिर a ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+c\right)$$

\frac{1}{a} लाई -by+c पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}$$

\frac{-by+c}{a} लाई x ले अर्को समीकरण a^{2}x+b^{2}y=c मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$a^{2}\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}\right)+b^{2}y=c$$

a^{2} लाई \frac{-by+c}{a} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(-ab\right)y+ac+b^{2}y=c$$

b^{2}y मा -bay जोड्नुहोस्

$$b\left(b-a\right)y+ac=c$$

समीकरणको दुबैतिरबाट ca घटाउनुहोस्।

$$b\left(b-a\right)y=c-ac$$

दुबैतिर b\left(-a+b\right) ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a} मा y लाई \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(-a+b\right)} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

-\frac{b}{a} लाई \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(-a+b\right)} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{c\left(1-a\right)}{a\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

-\frac{\left(1-a\right)c}{\left(-a+b\right)a} मा \frac{c}{a} जोड्नुहोस्

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&-\frac{b}{ab^{2}-ba^{2}}\\-\frac{a^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&\frac{a}{ab^{2}-ba^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}&-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\\-\frac{a}{b\left(b-a\right)}&\frac{1}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}c+\left(-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\right)c\\\left(-\frac{a}{b\left(b-a\right)}\right)c+\frac{1}{b\left(b-a\right)}c\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}\\\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

ax र a^{2}x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई a^{2} ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई a ले गुणन गर्नुहोस्।

$$a^{2}ax+a^{2}by=a^{2}c,aa^{2}x+ab^{2}y=ac$$

सरल गर्नुहोस्।

$$a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2},a^{3}x+ab^{2}y=ac$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2} बाट a^{3}x+ab^{2}y=ac घटाउनुहोस्।

$$a^{3}x+\left(-a^{3}\right)x+ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

-a^{3}x मा a^{3}x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै a^{3}x र -a^{3}x राशी रद्द हुन्छन्।

$$ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

-ab^{2}y मा a^{2}by जोड्नुहोस्

$$ab\left(a-b\right)y=ca^{2}-ac$$

-ac मा a^{2}c जोड्नुहोस्

$$ab\left(a-b\right)y=ac\left(a-1\right)$$

दुबैतिर ab\left(a-b\right) ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

a^{2}x+b^{2}y=c मा y लाई \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a^{2}x+b^{2}\times \frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}=c$$

b^{2} लाई \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a^{2}x+\frac{bc\left(a-1\right)}{a-b}=c$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{b\left(-1+a\right)c}{a-b} घटाउनुहोस्।

$$a^{2}x=\frac{ac\left(1-b\right)}{a-b}$$

दुबैतिर a^{2} ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)},y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$