समाधान {l}{a-b=-2}{3a+4b=2429}

$$\left. \begin{array} { l } { a - b = - 2 } \\ { 3 a + 4 b = 2429 } \end{array} \right.$$

a, b को लागि हल गर्नुहोस्

$$a = \frac{2421}{7} = 345\frac{6}{7} \approx 345.857142857$$

$$b = \frac{2435}{7} = 347\frac{6}{7} \approx 347.857142857$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$a-b=-2,3a+4b=2429$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको a लाई अलग गरी a का लागि हल गर्नुहोस्।

$$a-b=-2$$

समीकरणको दुबैतिर b जोड्नुहोस्।

$$a=b-2$$

b-2 लाई a ले अर्को समीकरण 3a+4b=2429 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(b-2\right)+4b=2429$$

3 लाई b-2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3b-6+4b=2429$$

4b मा 3b जोड्नुहोस्

$$7b-6=2429$$

समीकरणको दुबैतिर 6 जोड्नुहोस्।

$$7b=2435$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=\frac{2435}{7}$$

a=b-2 मा b लाई \frac{2435}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a=\frac{2435}{7}-2$$

\frac{2435}{7} मा -2 जोड्नुहोस्

$$a=\frac{2421}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=\frac{2421}{7},b=\frac{2435}{7}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$a-b=-2,3a+4b=2429$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2429\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2429\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2429\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2429\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-3\right)}&\frac{1}{4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2429\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2429\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\left(-2\right)+\frac{1}{7}\times 2429\\-\frac{3}{7}\left(-2\right)+\frac{1}{7}\times 2429\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2421}{7}\\\frac{2435}{7}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू a र b लाई ता्नुहोस्।

$$a=\frac{2421}{7},b=\frac{2435}{7}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$a-b=-2,3a+4b=2429$$

a र 3a लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3a+3\left(-1\right)b=3\left(-2\right),3a+4b=2429$$

सरल गर्नुहोस्।

$$3a-3b=-6,3a+4b=2429$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 3a-3b=-6 बाट 3a+4b=2429 घटाउनुहोस्।

$$3a-3a-3b-4b=-6-2429$$

-3a मा 3a जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 3a र -3a राशी रद्द हुन्छन्।

$$-3b-4b=-6-2429$$

-4b मा -3b जोड्नुहोस्

$$-7b=-6-2429$$

-2429 मा -6 जोड्नुहोस्

$$-7b=-2435$$

दुबैतिर -7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=\frac{2435}{7}$$

3a+4b=2429 मा b लाई \frac{2435}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3a+4\times \frac{2435}{7}=2429$$

4 लाई \frac{2435}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3a+\frac{9740}{7}=2429$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{9740}{7} घटाउनुहोस्।

$$3a=\frac{7263}{7}$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=\frac{2421}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=\frac{2421}{7},b=\frac{2435}{7}$$