समाधान {l}{a+b=3}{5a+9b=1}

$$\left. \begin{array} { l } { a + b = 3 } \\ { 5 a + 9 b = 1 } \end{array} \right.$$

a, b को लागि हल गर्नुहोस्

$$a = \frac{13}{2} = 6\frac{1}{2} = 6.5$$

$$b = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$a+b=3,5a+9b=1$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको a लाई अलग गरी a का लागि हल गर्नुहोस्।

$$a+b=3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट b घटाउनुहोस्।

$$a=-b+3$$

-b+3 लाई a ले अर्को समीकरण 5a+9b=1 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5\left(-b+3\right)+9b=1$$

5 लाई -b+3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-5b+15+9b=1$$

9b मा -5b जोड्नुहोस्

$$4b+15=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 15 घटाउनुहोस्।

$$4b=-14$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=-\frac{7}{2}$$

a=-b+3 मा b लाई -\frac{7}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a=-\left(-\frac{7}{2}\right)+3$$

-1 लाई -\frac{7}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=\frac{7}{2}+3$$

\frac{7}{2} मा 3 जोड्नुहोस्

$$a=\frac{13}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=\frac{13}{2},b=-\frac{7}{2}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$a+b=3,5a+9b=1$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\5&9\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{9-5}&-\frac{1}{9-5}\\-\frac{5}{9-5}&\frac{1}{9-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\times 3-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{4}\times 3+\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू a र b लाई ता्नुहोस्।

$$a=\frac{13}{2},b=-\frac{7}{2}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$a+b=3,5a+9b=1$$

a र 5a लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5a+5b=5\times 3,5a+9b=1$$

सरल गर्नुहोस्।

$$5a+5b=15,5a+9b=1$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 5a+5b=15 बाट 5a+9b=1 घटाउनुहोस्।

$$5a-5a+5b-9b=15-1$$

-5a मा 5a जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 5a र -5a राशी रद्द हुन्छन्।

$$5b-9b=15-1$$

-9b मा 5b जोड्नुहोस्

$$-4b=15-1$$

-1 मा 15 जोड्नुहोस्

$$-4b=14$$

दुबैतिर -4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=-\frac{7}{2}$$

5a+9b=1 मा b लाई -\frac{7}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$5a+9\left(-\frac{7}{2}\right)=1$$

9 लाई -\frac{7}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$5a-\frac{63}{2}=1$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{63}{2} जोड्नुहोस्।

$$5a=\frac{65}{2}$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=\frac{13}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=\frac{13}{2},b=-\frac{7}{2}$$