समाधान {l}{Ax+By=C}{Dx+Cy=F}

$$\left. \begin{array} { l } { A x + B y = C } \\ { D x + C y = F } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस् (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{BF-C^{2}}{AC-BD}\text{, }y=-\frac{CD-AF}{AC-BD}\text{, }&\left(B\neq 0\text{ or }C\neq 0\right)\text{ and }\left(C\neq 0\text{ or }D\neq 0\right)\text{ and }\left(C=0\text{ or }A\neq \frac{BD}{C}\text{ or }B=0\text{ or }D=0\right)\text{ and }A\neq 0\\x=-\frac{By-C}{A}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A\neq 0\text{ and }F=\frac{BD^{2}}{A^{2}}\text{ and }C=\frac{BD}{A}\\x=\frac{BF-C^{2}}{BD}\text{, }y=\frac{C}{B}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }B\neq 0\\x=\frac{F}{D}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }C=0\text{ and }B=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=-B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=-\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }F=0\text{ and }B=0\text{ and }C=0\end{matrix}\right.$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$Ax+By=C$$

समीकरणको दुबैतिरबाट By घटाउनुहोस्।

$$Ax=\left(-B\right)y+C$$

दुबैतिर A ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{A}\left(\left(-B\right)y+C\right)$$

\frac{1}{A} लाई -By+C पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}$$

\frac{-By+C}{A} लाई x ले अर्को समीकरण Dx+Cy=F मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$D\left(\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}\right)+Cy=F$$

D लाई \frac{-By+C}{A} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(-\frac{BD}{A}\right)y+\frac{CD}{A}+Cy=F$$

Cy मा -\frac{DBy}{A} जोड्नुहोस्

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y+\frac{CD}{A}=F$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{DC}{A} घटाउनुहोस्।

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y=-\frac{CD}{A}+F$$

दुबैतिर C-\frac{DB}{A} ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A} मा y लाई \frac{FA-DC}{CA-DB} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)\times \frac{AF-CD}{AC-BD}+\frac{C}{A}$$

-\frac{B}{A} लाई \frac{FA-DC}{CA-DB} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{B\left(AF-CD\right)}{A\left(AC-BD\right)}+\frac{C}{A}$$

-\frac{B\left(FA-DC\right)}{A\left(CA-DB\right)} मा \frac{C}{A} जोड्नुहोस्

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD},y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}&-\frac{B}{AC-BD}\\-\frac{D}{AC-BD}&\frac{A}{AC-BD}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}C+\left(-\frac{B}{AC-BD}\right)F\\\left(-\frac{D}{AC-BD}\right)C+\frac{A}{AC-BD}F\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}\\\frac{CD-AF}{BD-AC}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Ax र Dx लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई D ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई A ले गुणन गर्नुहोस्।

$$DAx+DBy=DC,ADx+ACy=AF$$

सरल गर्नुहोस्।

$$ADx+BDy=CD,ADx+ACy=AF$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर ADx+BDy=CD बाट ADx+ACy=AF घटाउनुहोस्।

$$ADx+\left(-AD\right)x+BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

-DAx मा DAx जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै DAx र -DAx राशी रद्द हुन्छन्।

$$BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

-ACy मा DBy जोड्नुहोस्

$$\left(BD-AC\right)y=CD-AF$$

दुबैतिर DB-AC ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

Dx+Cy=F मा y लाई \frac{DC-AF}{DB-AC} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$Dx+C\times \frac{CD-AF}{BD-AC}=F$$

C लाई \frac{DC-AF}{DB-AC} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$Dx+\frac{C\left(CD-AF\right)}{BD-AC}=F$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{C\left(DC-AF\right)}{DB-AC} घटाउनुहोस्।

$$Dx=\frac{D\left(BF-C^{2}\right)}{BD-AC}$$

दुबैतिर D ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$