समाधान {l}{A+B+1=0}{A-2B=3}

$$\left. \begin{array} { l } { A + B + 1 = 0 } \\ { A - 2 B = 3 } \end{array} \right.$$

A, B को लागि हल गर्नुहोस्

$$A=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$B = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$A+B+1=0,A-2B=3$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको A लाई अलग गरी A का लागि हल गर्नुहोस्।

$$A+B+1=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 1 घटाउनुहोस्।

$$A+B=-1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट B घटाउनुहोस्।

$$A=-B-1$$

-B-1 लाई A ले अर्को समीकरण A-2B=3 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-B-1-2B=3$$

-2B मा -B जोड्नुहोस्

$$-3B-1=3$$

समीकरणको दुबैतिर 1 जोड्नुहोस्।

$$-3B=4$$

दुबैतिर -3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$B=-\frac{4}{3}$$

A=-B-1 मा B लाई -\frac{4}{3} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले A लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$A=-\left(-\frac{4}{3}\right)-1$$

-1 लाई -\frac{4}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$A=\frac{4}{3}-1$$

\frac{4}{3} मा -1 जोड्नुहोस्

$$A=\frac{1}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$A=\frac{1}{3},B=-\frac{4}{3}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$A+B+1=0,A-2B=3$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\times 3\\\frac{1}{3}\left(-1\right)-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू A र B लाई ता्नुहोस्।

$$A=\frac{1}{3},B=-\frac{4}{3}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$A+B+1=0,A-2B=3$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर A+B+1=0 बाट A-2B=3 घटाउनुहोस्।

$$A-A+B+2B+1=-3$$

-A मा A जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै A र -A राशी रद्द हुन्छन्।

$$B+2B+1=-3$$

2B मा B जोड्नुहोस्

$$3B+1=-3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 1 घटाउनुहोस्।

$$3B=-4$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$B=-\frac{4}{3}$$

A-2B=3 मा B लाई -\frac{4}{3} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले A लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$A-2\left(-\frac{4}{3}\right)=3$$

-2 लाई -\frac{4}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$A+\frac{8}{3}=3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{8}{3} घटाउनुहोस्।

$$A=\frac{1}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$A=\frac{1}{3},B=-\frac{4}{3}$$