समाधान {l}{9x-4y=7}{x-4y=-17}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 4 y = 7 } \\ { x - 4 y = - 17 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=3$$

$$y=5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$9x-4y=7,x-4y=-17$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$9x-4y=7$$

समीकरणको दुबैतिर 4y जोड्नुहोस्।

$$9x=4y+7$$

दुबैतिर 9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+7\right)$$

\frac{1}{9} लाई 4y+7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{7}{9}$$

\frac{4y+7}{9} लाई x ले अर्को समीकरण x-4y=-17 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{4}{9}y+\frac{7}{9}-4y=-17$$

-4y मा \frac{4y}{9} जोड्नुहोस्

$$-\frac{32}{9}y+\frac{7}{9}=-17$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{7}{9} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{32}{9}y=-\frac{160}{9}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{32}{9} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=5$$

x=\frac{4}{9}y+\frac{7}{9} मा y लाई 5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{4}{9}\times 5+\frac{7}{9}$$

\frac{4}{9} लाई 5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{20+7}{9}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{7}{9} लाई \frac{20}{9} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=3,y=5$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$9x-4y=7,x-4y=-17$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{9\left(-4\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{9\left(-4\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{9\left(-4\right)-\left(-4\right)}&\frac{9}{9\left(-4\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{32}&-\frac{9}{32}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 7-\frac{1}{8}\left(-17\right)\\\frac{1}{32}\times 7-\frac{9}{32}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=3,y=5$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$9x-4y=7,x-4y=-17$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 9x-4y=7 बाट x-4y=-17 घटाउनुहोस्।

$$9x-x-4y+4y=7+17$$

4y मा -4y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -4y र 4y राशी रद्द हुन्छन्।

$$9x-x=7+17$$

-x मा 9x जोड्नुहोस्

$$8x=7+17$$

17 मा 7 जोड्नुहोस्

$$8x=24$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=3$$

x-4y=-17 मा x लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3-4y=-17$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3 घटाउनुहोस्।

$$-4y=-20$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=3,y=5$$