समाधान {l}{9x+y=88}{7x-8y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + y = 88 } \\ { 7 x - 8 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=9$$

$$y=7$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$9x+y=88$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$9x=-y+88$$

दुबैतिर 9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{9}\left(-y+88\right)$$

\frac{1}{9} लाई -y+88 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}$$

\frac{-y+88}{9} लाई x ले अर्को समीकरण 7x-8y=7 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$7\left(-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}\right)-8y=7$$

7 लाई \frac{-y+88}{9} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{7}{9}y+\frac{616}{9}-8y=7$$

-8y मा -\frac{7y}{9} जोड्नुहोस्

$$-\frac{79}{9}y+\frac{616}{9}=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{616}{9} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{79}{9}y=-\frac{553}{9}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{79}{9} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=7$$

x=-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9} मा y लाई 7 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{9}\times 7+\frac{88}{9}$$

-\frac{1}{9} लाई 7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-7+88}{9}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{88}{9} लाई -\frac{7}{9} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=9$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=9,y=7$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9\left(-8\right)-7}&-\frac{1}{9\left(-8\right)-7}\\-\frac{7}{9\left(-8\right)-7}&\frac{9}{9\left(-8\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{79}&\frac{1}{79}\\\frac{7}{79}&-\frac{9}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{79}\times 88+\frac{1}{79}\times 7\\\frac{7}{79}\times 88-\frac{9}{79}\times 7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=9,y=7$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

9x र 7x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 7 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 9 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$7\times 9x+7y=7\times 88,9\times 7x+9\left(-8\right)y=9\times 7$$

सरल गर्नुहोस्।

$$63x+7y=616,63x-72y=63$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 63x+7y=616 बाट 63x-72y=63 घटाउनुहोस्।

$$63x-63x+7y+72y=616-63$$

-63x मा 63x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 63x र -63x राशी रद्द हुन्छन्।

$$7y+72y=616-63$$

72y मा 7y जोड्नुहोस्

$$79y=616-63$$

-63 मा 616 जोड्नुहोस्

$$79y=553$$

दुबैतिर 79 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=7$$

7x-8y=7 मा y लाई 7 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$7x-8\times 7=7$$

-8 लाई 7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$7x-56=7$$

समीकरणको दुबैतिर 56 जोड्नुहोस्।

$$7x=63$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=9$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=9,y=7$$