समाधान {l}{9x+7y=6}{8x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 7 y = 6 } \\ { 8 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{45}{29} = 1\frac{16}{29} \approx 1.551724138$$

$$y = -\frac{33}{29} = -1\frac{4}{29} \approx -1.137931034$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$9x+7y=6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 7y घटाउनुहोस्।

$$9x=-7y+6$$

दुबैतिर 9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{9}\left(-7y+6\right)$$

\frac{1}{9} लाई -7y+6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}$$

-\frac{7y}{9}+\frac{2}{3} लाई x ले अर्को समीकरण 8x+3y=9 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8\left(-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}\right)+3y=9$$

8 लाई -\frac{7y}{9}+\frac{2}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{56}{9}y+\frac{16}{3}+3y=9$$

3y मा -\frac{56y}{9} जोड्नुहोस्

$$-\frac{29}{9}y+\frac{16}{3}=9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{16}{3} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{29}{9}y=\frac{11}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{29}{9} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{33}{29}$$

x=-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3} मा y लाई -\frac{33}{29} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{7}{9}\left(-\frac{33}{29}\right)+\frac{2}{3}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{7}{9} लाई -\frac{33}{29} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{77}{87}+\frac{2}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{2}{3} लाई \frac{77}{87} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{45}{29}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-7\times 8}&-\frac{7}{9\times 3-7\times 8}\\-\frac{8}{9\times 3-7\times 8}&\frac{9}{9\times 3-7\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}&\frac{7}{29}\\\frac{8}{29}&-\frac{9}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}\times 6+\frac{7}{29}\times 9\\\frac{8}{29}\times 6-\frac{9}{29}\times 9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{45}{29}\\-\frac{33}{29}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

9x र 8x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 8 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 9 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$8\times 9x+8\times 7y=8\times 6,9\times 8x+9\times 3y=9\times 9$$

सरल गर्नुहोस्।

$$72x+56y=48,72x+27y=81$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 72x+56y=48 बाट 72x+27y=81 घटाउनुहोस्।

$$72x-72x+56y-27y=48-81$$

-72x मा 72x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 72x र -72x राशी रद्द हुन्छन्।

$$56y-27y=48-81$$

-27y मा 56y जोड्नुहोस्

$$29y=48-81$$

-81 मा 48 जोड्नुहोस्

$$29y=-33$$

दुबैतिर 29 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{33}{29}$$

8x+3y=9 मा y लाई -\frac{33}{29} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$8x+3\left(-\frac{33}{29}\right)=9$$

3 लाई -\frac{33}{29} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$8x-\frac{99}{29}=9$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{99}{29} जोड्नुहोस्।

$$8x=\frac{360}{29}$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{45}{29}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$