समाधान {l}{9x+13y=9}{2x+y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 13 y = 9 } \\ { 2 x + y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{134}{17} = 7\frac{15}{17} \approx 7.882352941$$

$$y = -\frac{81}{17} = -4\frac{13}{17} \approx -4.764705882$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$9x+13y=9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 13y घटाउनुहोस्।

$$9x=-13y+9$$

दुबैतिर 9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{9}\left(-13y+9\right)$$

\frac{1}{9} लाई -13y+9 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{13}{9}y+1$$

-\frac{13y}{9}+1 लाई x ले अर्को समीकरण 2x+y=11 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-\frac{13}{9}y+1\right)+y=11$$

2 लाई -\frac{13y}{9}+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{26}{9}y+2+y=11$$

y मा -\frac{26y}{9} जोड्नुहोस्

$$-\frac{17}{9}y+2=11$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2 घटाउनुहोस्।

$$-\frac{17}{9}y=9$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{17}{9} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{81}{17}$$

x=-\frac{13}{9}y+1 मा y लाई -\frac{81}{17} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{13}{9}\left(-\frac{81}{17}\right)+1$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{13}{9} लाई -\frac{81}{17} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{117}{17}+1$$

\frac{117}{17} मा 1 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{134}{17}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-13\times 2}&-\frac{13}{9-13\times 2}\\-\frac{2}{9-13\times 2}&\frac{9}{9-13\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}&\frac{13}{17}\\\frac{2}{17}&-\frac{9}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}\times 9+\frac{13}{17}\times 11\\\frac{2}{17}\times 9-\frac{9}{17}\times 11\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{134}{17}\\-\frac{81}{17}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

9x र 2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 9 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\times 9x+2\times 13y=2\times 9,9\times 2x+9y=9\times 11$$

सरल गर्नुहोस्।

$$18x+26y=18,18x+9y=99$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 18x+26y=18 बाट 18x+9y=99 घटाउनुहोस्।

$$18x-18x+26y-9y=18-99$$

-18x मा 18x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 18x र -18x राशी रद्द हुन्छन्।

$$26y-9y=18-99$$

-9y मा 26y जोड्नुहोस्

$$17y=18-99$$

-99 मा 18 जोड्नुहोस्

$$17y=-81$$

दुबैतिर 17 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{81}{17}$$

2x+y=11 मा y लाई -\frac{81}{17} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2x-\frac{81}{17}=11$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{81}{17} जोड्नुहोस्।

$$2x=\frac{268}{17}$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{134}{17}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$