समाधान {l}{9v+2w=7}{3v-8w=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 v + 2 w = 7 } \\ { 3 v - 8 w = - 2 } \end{array} \right.$$

v, w को लागि हल गर्नुहोस्

$$v=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$w=\frac{1}{2}=0.5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको v लाई अलग गरी v का लागि हल गर्नुहोस्।

$$9v+2w=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2w घटाउनुहोस्।

$$9v=-2w+7$$

दुबैतिर 9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$v=\frac{1}{9}\left(-2w+7\right)$$

\frac{1}{9} लाई -2w+7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}$$

\frac{-2w+7}{9} लाई v ले अर्को समीकरण 3v-8w=-2 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}\right)-8w=-2$$

3 लाई \frac{-2w+7}{9} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{2}{3}w+\frac{7}{3}-8w=-2$$

-8w मा -\frac{2w}{3} जोड्नुहोस्

$$-\frac{26}{3}w+\frac{7}{3}=-2$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{7}{3} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{26}{3}w=-\frac{13}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{26}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$w=\frac{1}{2}$$

v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9} मा w लाई \frac{1}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले v लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$v=-\frac{2}{9}\times \frac{1}{2}+\frac{7}{9}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{2}{9} लाई \frac{1}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$v=\frac{-1+7}{9}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{7}{9} लाई -\frac{1}{9} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$v=\frac{2}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्सको लागि \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), विपरित मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो जसले गर्दा मेट्रिक्स समीकरणलाई लाई मेट्रिक्सको गुणन समस्याको रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9\left(-8\right)-2\times 3}&-\frac{2}{9\left(-8\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{9\left(-8\right)-2\times 3}&\frac{9}{9\left(-8\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{1}{26}&-\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 7+\frac{1}{39}\left(-2\right)\\\frac{1}{26}\times 7-\frac{3}{26}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू v र w लाई ता्नुहोस्।

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

9v र 3v लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 9 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 9v+3\times 2w=3\times 7,9\times 3v+9\left(-8\right)w=9\left(-2\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$27v+6w=21,27v-72w=-18$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 27v+6w=21 बाट 27v-72w=-18 घटाउनुहोस्।

$$27v-27v+6w+72w=21+18$$

-27v मा 27v जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 27v र -27v राशी रद्द हुन्छन्।

$$6w+72w=21+18$$

72w मा 6w जोड्नुहोस्

$$78w=21+18$$

18 मा 21 जोड्नुहोस्

$$78w=39$$

दुबैतिर 78 ले भाग गर्नुहोस्।

$$w=\frac{1}{2}$$

3v-8w=-2 मा w लाई \frac{1}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले v लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3v-8\times \frac{1}{2}=-2$$

-8 लाई \frac{1}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3v-4=-2$$

समीकरणको दुबैतिर 4 जोड्नुहोस्।

$$3v=2$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$v=\frac{2}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$