समाधान {l}{800=x+20y}{+00=x+15y}

$$\left. \begin{array} { l } { 800 = x + 20 y } \\ { + 00 = x + 15 y } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-2400$$

$$y=160$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$x+20y=800$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 0 प्राप्त गर्नको लागि 0 र 0 गुणा गर्नुहोस्।

$$0=x+15y$$

साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$x+15y=0$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+20y=800,x+15y=0$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+20y=800$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 20y घटाउनुहोस्।

$$x=-20y+800$$

-20y+800 लाई x ले अर्को समीकरण x+15y=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-20y+800+15y=0$$

15y मा -20y जोड्नुहोस्

$$-5y+800=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 800 घटाउनुहोस्।

$$-5y=-800$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=160$$

x=-20y+800 मा y लाई 160 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-20\times 160+800$$

-20 लाई 160 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-3200+800$$

-3200 मा 800 जोड्नुहोस्

$$x=-2400$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-2400,y=160$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$x+20y=800$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 0 प्राप्त गर्नको लागि 0 र 0 गुणा गर्नुहोस्।

$$0=x+15y$$

साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$x+15y=0$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+20y=800,x+15y=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}800\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\0\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\0\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{15-20}&-\frac{20}{15-20}\\-\frac{1}{15-20}&\frac{1}{15-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\0\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&4\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\0\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 800\\\frac{1}{5}\times 800\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2400\\160\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-2400,y=160$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$x+20y=800$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 0 प्राप्त गर्नको लागि 0 र 0 गुणा गर्नुहोस्।

$$0=x+15y$$

साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$x+15y=0$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+20y=800,x+15y=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर x+20y=800 बाट x+15y=0 घटाउनुहोस्।

$$x-x+20y-15y=800$$

-x मा x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै x र -x राशी रद्द हुन्छन्।

$$20y-15y=800$$

-15y मा 20y जोड्नुहोस्

$$5y=800$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=160$$

x+15y=0 मा y लाई 160 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x+15\times 160=0$$

15 लाई 160 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x+2400=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2400 घटाउनुहोस्।

$$x=-2400$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-2400,y=160$$