समाधान {l}{80x+160y=4}{x+3y=0.1}

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { x + 3 y = 0.1 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-0.05$$

$$y=0.05$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$80x+160y=4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 160y घटाउनुहोस्।

$$80x=-160y+4$$

दुबैतिर 80 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

\frac{1}{80} लाई -160y+4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

-2y+\frac{1}{20} लाई x ले अर्को समीकरण x+3y=0.1 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-2y+\frac{1}{20}+3y=0.1$$

3y मा -2y जोड्नुहोस्

$$y+\frac{1}{20}=0.1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{1}{20} घटाउनुहोस्।

$$y=\frac{1}{20}$$

x=-2y+\frac{1}{20} मा y लाई \frac{1}{20} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-2\times \frac{1}{20}+\frac{1}{20}$$

-2 लाई \frac{1}{20} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{10}+\frac{1}{20}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{1}{20} लाई -\frac{1}{10} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{20}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80\times 3-160}&-\frac{160}{80\times 3-160}\\-\frac{1}{80\times 3-160}&\frac{80}{80\times 3-160}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}&-2\\-\frac{1}{80}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}\times 4-2\times 0.1\\-\frac{1}{80}\times 4+0.1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\\\frac{1}{20}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

80x र x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 80 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$80x+160y=4,80x+80\times 3y=80\times 0.1$$

सरल गर्नुहोस्।

$$80x+160y=4,80x+240y=8$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 80x+160y=4 बाट 80x+240y=8 घटाउनुहोस्।

$$80x-80x+160y-240y=4-8$$

-80x मा 80x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 80x र -80x राशी रद्द हुन्छन्।

$$160y-240y=4-8$$

-240y मा 160y जोड्नुहोस्

$$-80y=4-8$$

-8 मा 4 जोड्नुहोस्

$$-80y=-4$$

दुबैतिर -80 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{20}$$

x+3y=0.1 मा y लाई \frac{1}{20} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x+3\times \frac{1}{20}=0.1$$

3 लाई \frac{1}{20} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x+\frac{3}{20}=0.1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{3}{20} घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{1}{20}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$