समाधान {l}{8y+x=7}{7y+8x=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 y + x = 7 } \\ { 7 y + 8 x = 16 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{79}{57} = 1\frac{22}{57} \approx 1.385964912$$

$$y=\frac{40}{57}\approx 0.701754386$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$8y+x=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट x घटाउनुहोस्।

$$8y=-x+7$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{8}\left(-x+7\right)$$

\frac{1}{8} लाई -x+7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}$$

\frac{-x+7}{8} लाई y ले अर्को समीकरण 7y+8x=16 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$7\left(-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}\right)+8x=16$$

7 लाई \frac{-x+7}{8} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{7}{8}x+\frac{49}{8}+8x=16$$

8x मा -\frac{7x}{8} जोड्नुहोस्

$$\frac{57}{8}x+\frac{49}{8}=16$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{49}{8} घटाउनुहोस्।

$$\frac{57}{8}x=\frac{79}{8}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{57}{8} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=\frac{79}{57}$$

y=-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8} मा x लाई \frac{79}{57} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=-\frac{1}{8}\times \frac{79}{57}+\frac{7}{8}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{8} लाई \frac{79}{57} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$y=-\frac{79}{456}+\frac{7}{8}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{7}{8} लाई -\frac{79}{456} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$y=\frac{40}{57}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8\times 8-7}&-\frac{1}{8\times 8-7}\\-\frac{7}{8\times 8-7}&\frac{8}{8\times 8-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{57}&-\frac{1}{57}\\-\frac{7}{57}&\frac{8}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{57}\times 7-\frac{1}{57}\times 16\\-\frac{7}{57}\times 7+\frac{8}{57}\times 16\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{57}\\\frac{79}{57}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

8y र 7y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 7 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 8 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$7\times 8y+7x=7\times 7,8\times 7y+8\times 8x=8\times 16$$

सरल गर्नुहोस्।

$$56y+7x=49,56y+64x=128$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 56y+7x=49 बाट 56y+64x=128 घटाउनुहोस्।

$$56y-56y+7x-64x=49-128$$

-56y मा 56y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 56y र -56y राशी रद्द हुन्छन्।

$$7x-64x=49-128$$

-64x मा 7x जोड्नुहोस्

$$-57x=49-128$$

-128 मा 49 जोड्नुहोस्

$$-57x=-79$$

दुबैतिर -57 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{79}{57}$$

7y+8x=16 मा x लाई \frac{79}{57} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$7y+8\times \frac{79}{57}=16$$

8 लाई \frac{79}{57} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$7y+\frac{632}{57}=16$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{632}{57} घटाउनुहोस्।

$$7y=\frac{280}{57}$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{40}{57}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$