समाधान {l}{8x-9y=15}{-5x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 9 y = 15 } \\ { - 5 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-6$$

$$y=-7$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$8x-9y=15$$

समीकरणको दुबैतिर 9y जोड्नुहोस्।

$$8x=9y+15$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{8}\left(9y+15\right)$$

\frac{1}{8} लाई 9y+15 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}$$

\frac{9y+15}{8} लाई x ले अर्को समीकरण -5x+3y=9 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-5\left(\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}\right)+3y=9$$

-5 लाई \frac{9y+15}{8} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{45}{8}y-\frac{75}{8}+3y=9$$

3y मा -\frac{45y}{8} जोड्नुहोस्

$$-\frac{21}{8}y-\frac{75}{8}=9$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{75}{8} जोड्नुहोस्।

$$-\frac{21}{8}y=\frac{147}{8}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{21}{8} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-7$$

x=\frac{9}{8}y+\frac{15}{8} मा y लाई -7 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{9}{8}\left(-7\right)+\frac{15}{8}$$

\frac{9}{8} लाई -7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-63+15}{8}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{15}{8} लाई -\frac{63}{8} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-6$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-6,y=-7$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}&-\frac{-9}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}&\frac{8}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{5}{21}&-\frac{8}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 15-\frac{3}{7}\times 9\\-\frac{5}{21}\times 15-\frac{8}{21}\times 9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-7\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-6,y=-7$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

8x र -5x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 8 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-5\times 8x-5\left(-9\right)y=-5\times 15,8\left(-5\right)x+8\times 3y=8\times 9$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-40x+45y=-75,-40x+24y=72$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -40x+45y=-75 बाट -40x+24y=72 घटाउनुहोस्।

$$-40x+40x+45y-24y=-75-72$$

40x मा -40x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -40x र 40x राशी रद्द हुन्छन्।

$$45y-24y=-75-72$$

-24y मा 45y जोड्नुहोस्

$$21y=-75-72$$

-72 मा -75 जोड्नुहोस्

$$21y=-147$$

दुबैतिर 21 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-7$$

-5x+3y=9 मा y लाई -7 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-5x+3\left(-7\right)=9$$

3 लाई -7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-5x-21=9$$

समीकरणको दुबैतिर 21 जोड्नुहोस्।

$$-5x=30$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-6$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-6,y=-7$$