समाधान {l}{8x-9y=10}{-5x-3y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 9 y = 10 } \\ { - 5 x - 3 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-1$$

$$y=-2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8x-9y=10,-5x-3y=11$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$8x-9y=10$$

समीकरणको दुबैतिर 9y जोड्नुहोस्।

$$8x=9y+10$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{8}\left(9y+10\right)$$

\frac{1}{8} लाई 9y+10 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}$$

\frac{9y}{8}+\frac{5}{4} लाई x ले अर्को समीकरण -5x-3y=11 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-5\left(\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}\right)-3y=11$$

-5 लाई \frac{9y}{8}+\frac{5}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{45}{8}y-\frac{25}{4}-3y=11$$

-3y मा -\frac{45y}{8} जोड्नुहोस्

$$-\frac{69}{8}y-\frac{25}{4}=11$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{25}{4} जोड्नुहोस्।

$$-\frac{69}{8}y=\frac{69}{4}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{69}{8} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-2$$

x=\frac{9}{8}y+\frac{5}{4} मा y लाई -2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{9}{8}\left(-2\right)+\frac{5}{4}$$

\frac{9}{8} लाई -2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-9+5}{4}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{5}{4} लाई -\frac{9}{4} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-1,y=-2$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$8x-9y=10,-5x-3y=11$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}8&-9\\-5&-3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8\left(-3\right)-\left(-9\left(-5\right)\right)}&-\frac{-9}{8\left(-3\right)-\left(-9\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{8\left(-3\right)-\left(-9\left(-5\right)\right)}&\frac{8}{8\left(-3\right)-\left(-9\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}&-\frac{3}{23}\\-\frac{5}{69}&-\frac{8}{69}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}\times 10-\frac{3}{23}\times 11\\-\frac{5}{69}\times 10-\frac{8}{69}\times 11\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-1,y=-2$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$8x-9y=10,-5x-3y=11$$

8x र -5x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 8 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-5\times 8x-5\left(-9\right)y=-5\times 10,8\left(-5\right)x+8\left(-3\right)y=8\times 11$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-40x+45y=-50,-40x-24y=88$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -40x+45y=-50 बाट -40x-24y=88 घटाउनुहोस्।

$$-40x+40x+45y+24y=-50-88$$

40x मा -40x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -40x र 40x राशी रद्द हुन्छन्।

$$45y+24y=-50-88$$

24y मा 45y जोड्नुहोस्

$$69y=-50-88$$

-88 मा -50 जोड्नुहोस्

$$69y=-138$$

दुबैतिर 69 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-2$$

-5x-3y=11 मा y लाई -2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-5x-3\left(-2\right)=11$$

-3 लाई -2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-5x+6=11$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 6 घटाउनुहोस्।

$$-5x=5$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-1,y=-2$$