समाधान {l}{8x-5y-3=0}{5*(y-3x)=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y - 3 = 0 } \\ { 5 \cdot ( y - 3 x ) = - 10 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=1$$

$$y=1$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 3 थप्नुहोस्। शून्यमा कुनै पनि अंक जोड्दा जोडफल सोही अंक बराबर नै हुन्छ।

$$8x-5y=3$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

-2 प्राप्त गर्नको लागि -10 लाई 5 द्वारा भाग गर्नुहोस्।

$$y-3x=-2$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$8x-5y=3$$

समीकरणको दुबैतिर 5y जोड्नुहोस्।

$$8x=5y+3$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+3\right)$$

\frac{1}{8} लाई 5y+3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}$$

\frac{5y+3}{8} लाई x ले अर्को समीकरण -3x+y=-2 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-3\left(\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}\right)+y=-2$$

-3 लाई \frac{5y+3}{8} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{15}{8}y-\frac{9}{8}+y=-2$$

y मा -\frac{15y}{8} जोड्नुहोस्

$$-\frac{7}{8}y-\frac{9}{8}=-2$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{9}{8} जोड्नुहोस्।

$$-\frac{7}{8}y=-\frac{7}{8}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{7}{8} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=1$$

x=\frac{5}{8}y+\frac{3}{8} मा y लाई 1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{5+3}{8}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{3}{8} लाई \frac{5}{8} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1,y=1$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 3 थप्नुहोस्। शून्यमा कुनै पनि अंक जोड्दा जोडफल सोही अंक बराबर नै हुन्छ।

$$8x-5y=3$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

-2 प्राप्त गर्नको लागि -10 लाई 5 द्वारा भाग गर्नुहोस्।

$$y-3x=-2$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}&-\frac{-5}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}&\frac{8}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{5}{7}\\-\frac{3}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 3-\frac{5}{7}\left(-2\right)\\-\frac{3}{7}\times 3-\frac{8}{7}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=1,y=1$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 3 थप्नुहोस्। शून्यमा कुनै पनि अंक जोड्दा जोडफल सोही अंक बराबर नै हुन्छ।

$$8x-5y=3$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

-2 प्राप्त गर्नको लागि -10 लाई 5 द्वारा भाग गर्नुहोस्।

$$y-3x=-2$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

8x र -3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 8 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-3\times 8x-3\left(-5\right)y=-3\times 3,8\left(-3\right)x+8y=8\left(-2\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-24x+15y=-9,-24x+8y=-16$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -24x+15y=-9 बाट -24x+8y=-16 घटाउनुहोस्।

$$-24x+24x+15y-8y=-9+16$$

24x मा -24x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -24x र 24x राशी रद्द हुन्छन्।

$$15y-8y=-9+16$$

-8y मा 15y जोड्नुहोस्

$$7y=-9+16$$

16 मा -9 जोड्नुहोस्

$$7y=7$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=1$$

-3x+y=-2 मा y लाई 1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-3x+1=-2$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 1 घटाउनुहोस्।

$$-3x=-3$$

दुबैतिर -3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1,y=1$$