समाधान {l}{8x+y=0}{2x-y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + y = 0 } \\ { 2 x - y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

$$y = -\frac{16}{5} = -3\frac{1}{5} = -3.2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8x+y=0,2x-y=4$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$8x+y=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$8x=-y$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{8}\left(-1\right)y$$

\frac{1}{8} लाई -y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{8}y$$

-\frac{y}{8} लाई x ले अर्को समीकरण 2x-y=4 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-\frac{1}{8}\right)y-y=4$$

2 लाई -\frac{y}{8} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{1}{4}y-y=4$$

-y मा -\frac{y}{4} जोड्नुहोस्

$$-\frac{5}{4}y=4$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{5}{4} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{16}{5}$$

x=-\frac{1}{8}y मा y लाई -\frac{16}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{8}\left(-\frac{16}{5}\right)$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{8} लाई -\frac{16}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{2}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{2}{5},y=-\frac{16}{5}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$8x+y=0,2x-y=4$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}8&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}8&1\\2&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{8\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{8\left(-1\right)-2}&\frac{8}{8\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{1}{5}&-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 4\\-\frac{4}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\\-\frac{16}{5}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{2}{5},y=-\frac{16}{5}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$8x+y=0,2x-y=4$$

8x र 2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 8 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\times 8x+2y=0,8\times 2x+8\left(-1\right)y=8\times 4$$

सरल गर्नुहोस्।

$$16x+2y=0,16x-8y=32$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 16x+2y=0 बाट 16x-8y=32 घटाउनुहोस्।

$$16x-16x+2y+8y=-32$$

-16x मा 16x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 16x र -16x राशी रद्द हुन्छन्।

$$2y+8y=-32$$

8y मा 2y जोड्नुहोस्

$$10y=-32$$

दुबैतिर 10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{16}{5}$$

2x-y=4 मा y लाई -\frac{16}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2x-\left(-\frac{16}{5}\right)=4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{16}{5} घटाउनुहोस्।

$$2x=\frac{4}{5}$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{2}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{2}{5},y=-\frac{16}{5}$$