समाधान {l}{8x+7y=1}{5x+6y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 7 y = 1 } \\ { 5 x + 6 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{1}{13}\approx -0.076923077$$

$$y=\frac{3}{13}\approx 0.230769231$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8x+7y=1,5x+6y=1$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$8x+7y=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 7y घटाउनुहोस्।

$$8x=-7y+1$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{8}\left(-7y+1\right)$$

\frac{1}{8} लाई -7y+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{7}{8}y+\frac{1}{8}$$

\frac{-7y+1}{8} लाई x ले अर्को समीकरण 5x+6y=1 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5\left(-\frac{7}{8}y+\frac{1}{8}\right)+6y=1$$

5 लाई \frac{-7y+1}{8} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{35}{8}y+\frac{5}{8}+6y=1$$

6y मा -\frac{35y}{8} जोड्नुहोस्

$$\frac{13}{8}y+\frac{5}{8}=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{5}{8} घटाउनुहोस्।

$$\frac{13}{8}y=\frac{3}{8}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{13}{8} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{3}{13}$$

x=-\frac{7}{8}y+\frac{1}{8} मा y लाई \frac{3}{13} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{7}{8}\times \frac{3}{13}+\frac{1}{8}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{7}{8} लाई \frac{3}{13} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{21}{104}+\frac{1}{8}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{1}{8} लाई -\frac{21}{104} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{13}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{3}{13}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$8x+7y=1,5x+6y=1$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{8\times 6-7\times 5}&-\frac{7}{8\times 6-7\times 5}\\-\frac{5}{8\times 6-7\times 5}&\frac{8}{8\times 6-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{13}&-\frac{7}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{8}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6-7}{13}\\\frac{-5+8}{13}\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\\\frac{3}{13}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{3}{13}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$8x+7y=1,5x+6y=1$$

8x र 5x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 8 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5\times 8x+5\times 7y=5,8\times 5x+8\times 6y=8$$

सरल गर्नुहोस्।

$$40x+35y=5,40x+48y=8$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 40x+35y=5 बाट 40x+48y=8 घटाउनुहोस्।

$$40x-40x+35y-48y=5-8$$

-40x मा 40x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 40x र -40x राशी रद्द हुन्छन्।

$$35y-48y=5-8$$

-48y मा 35y जोड्नुहोस्

$$-13y=5-8$$

-8 मा 5 जोड्नुहोस्

$$-13y=-3$$

दुबैतिर -13 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{3}{13}$$

5x+6y=1 मा y लाई \frac{3}{13} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$5x+6\times \frac{3}{13}=1$$

6 लाई \frac{3}{13} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$5x+\frac{18}{13}=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{18}{13} घटाउनुहोस्।

$$5x=-\frac{5}{13}$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{13}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{3}{13}$$