समाधान {l}{8x+4y=-4}{4x-2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 4 y = - 4 } \\ { 4 x - 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

$$y = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$8x+4y=-4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 4y घटाउनुहोस्।

$$8x=-4y-4$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{8}\left(-4y-4\right)$$

\frac{1}{8} लाई -4y-4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$$

\frac{-y-1}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 4x-2y=8 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)-2y=8$$

4 लाई \frac{-y-1}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-2y-2-2y=8$$

-2y मा -2y जोड्नुहोस्

$$-4y-2=8$$

समीकरणको दुबैतिर 2 जोड्नुहोस्।

$$-4y=10$$

दुबैतिर -4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{5}{2}$$

x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2} मा y लाई -\frac{5}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{5}{2}\right)-\frac{1}{2}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{2} लाई -\frac{5}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{4}-\frac{1}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{1}{2} लाई \frac{5}{4} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{4}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{8\left(-2\right)-4\times 4}&-\frac{4}{8\left(-2\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{8\left(-2\right)-4\times 4}&\frac{8}{8\left(-2\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}\left(-4\right)+\frac{1}{8}\times 8\\\frac{1}{8}\left(-4\right)-\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

8x र 4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 8 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\times 8x+4\times 4y=4\left(-4\right),8\times 4x+8\left(-2\right)y=8\times 8$$

सरल गर्नुहोस्।

$$32x+16y=-16,32x-16y=64$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 32x+16y=-16 बाट 32x-16y=64 घटाउनुहोस्।

$$32x-32x+16y+16y=-16-64$$

-32x मा 32x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 32x र -32x राशी रद्द हुन्छन्।

$$16y+16y=-16-64$$

16y मा 16y जोड्नुहोस्

$$32y=-16-64$$

-64 मा -16 जोड्नुहोस्

$$32y=-80$$

दुबैतिर 32 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{5}{2}$$

4x-2y=8 मा y लाई -\frac{5}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4x-2\left(-\frac{5}{2}\right)=8$$

-2 लाई -\frac{5}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4x+5=8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5 घटाउनुहोस्।

$$4x=3$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{4}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$