समाधान {l}{7x-8y=9}{4x+3y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x - 8 y = 9 } \\ { 4 x + 3 y = - 10 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-1$$

$$y=-2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$7x-8y=9,4x+3y=-10$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$7x-8y=9$$

समीकरणको दुबैतिर 8y जोड्नुहोस्।

$$7x=8y+9$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{7}\left(8y+9\right)$$

\frac{1}{7} लाई 8y+9 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}$$

\frac{8y+9}{7} लाई x ले अर्को समीकरण 4x+3y=-10 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}\right)+3y=-10$$

4 लाई \frac{8y+9}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{32}{7}y+\frac{36}{7}+3y=-10$$

3y मा \frac{32y}{7} जोड्नुहोस्

$$\frac{53}{7}y+\frac{36}{7}=-10$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{36}{7} घटाउनुहोस्।

$$\frac{53}{7}y=-\frac{106}{7}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{53}{7} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-2$$

x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7} मा y लाई -2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{8}{7}\left(-2\right)+\frac{9}{7}$$

\frac{8}{7} लाई -2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-16+9}{7}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{9}{7} लाई -\frac{16}{7} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-1,y=-2$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$7x-8y=9,4x+3y=-10$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}7&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}7&-8\\4&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7\times 3-\left(-8\times 4\right)}&-\frac{-8}{7\times 3-\left(-8\times 4\right)}\\-\frac{4}{7\times 3-\left(-8\times 4\right)}&\frac{7}{7\times 3-\left(-8\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}&\frac{8}{53}\\-\frac{4}{53}&\frac{7}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}\times 9+\frac{8}{53}\left(-10\right)\\-\frac{4}{53}\times 9+\frac{7}{53}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-1,y=-2$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$7x-8y=9,4x+3y=-10$$

7x र 4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 7 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\times 7x+4\left(-8\right)y=4\times 9,7\times 4x+7\times 3y=7\left(-10\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$28x-32y=36,28x+21y=-70$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 28x-32y=36 बाट 28x+21y=-70 घटाउनुहोस्।

$$28x-28x-32y-21y=36+70$$

-28x मा 28x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 28x र -28x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-32y-21y=36+70$$

-21y मा -32y जोड्नुहोस्

$$-53y=36+70$$

70 मा 36 जोड्नुहोस्

$$-53y=106$$

दुबैतिर -53 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-2$$

4x+3y=-10 मा y लाई -2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4x+3\left(-2\right)=-10$$

3 लाई -2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4x-6=-10$$

समीकरणको दुबैतिर 6 जोड्नुहोस्।

$$4x=-4$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-1,y=-2$$