समाधान {l}{7x+8y=15}{9x+8y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 8 y = 15 } \\ { 9 x + 8 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-7$$

$$y=8$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$7x+8y=15$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 8y घटाउनुहोस्।

$$7x=-8y+15$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{7}\left(-8y+15\right)$$

\frac{1}{7} लाई -8y+15 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}$$

\frac{-8y+15}{7} लाई x ले अर्को समीकरण 9x+8y=1 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$9\left(-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}\right)+8y=1$$

9 लाई \frac{-8y+15}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{72}{7}y+\frac{135}{7}+8y=1$$

8y मा -\frac{72y}{7} जोड्नुहोस्

$$-\frac{16}{7}y+\frac{135}{7}=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{135}{7} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{16}{7}y=-\frac{128}{7}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{16}{7} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=8$$

x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7} मा y लाई 8 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{8}{7}\times 8+\frac{15}{7}$$

-\frac{8}{7} लाई 8 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-64+15}{7}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{15}{7} लाई -\frac{64}{7} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-7$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-7,y=8$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्सको लागि \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), विपरित मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो जसले गर्दा मेट्रिक्स समीकरणलाई लाई मेट्रिक्सको गुणन समस्याको रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{7\times 8-8\times 9}&-\frac{8}{7\times 8-8\times 9}\\-\frac{9}{7\times 8-8\times 9}&\frac{7}{7\times 8-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}&-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 15+\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}\times 15-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-7,y=8$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 7x+8y=15 बाट 9x+8y=1 घटाउनुहोस्।

$$7x-9x+8y-8y=15-1$$

-8y मा 8y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 8y र -8y राशी रद्द हुन्छन्।

$$7x-9x=15-1$$

-9x मा 7x जोड्नुहोस्

$$-2x=15-1$$

-1 मा 15 जोड्नुहोस्

$$-2x=14$$

दुबैतिर -2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-7$$

9x+8y=1 मा x लाई -7 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$9\left(-7\right)+8y=1$$

9 लाई -7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-63+8y=1$$

समीकरणको दुबैतिर 63 जोड्नुहोस्।

$$8y=64$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=8$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-7,y=8$$