समाधान {l}{7x+5y=12}{8x-2y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = 12 } \\ { 8 x - 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{59}{54} = 1\frac{5}{54} \approx 1.092592593$$

$$y=\frac{47}{54}\approx 0.87037037$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$7x+5y=12$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5y घटाउनुहोस्।

$$7x=-5y+12$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+12\right)$$

\frac{1}{7} लाई -5y+12 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}$$

\frac{-5y+12}{7} लाई x ले अर्को समीकरण 8x-2y=7 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8\left(-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}\right)-2y=7$$

8 लाई \frac{-5y+12}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{40}{7}y+\frac{96}{7}-2y=7$$

-2y मा -\frac{40y}{7} जोड्नुहोस्

$$-\frac{54}{7}y+\frac{96}{7}=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{96}{7} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{54}{7}y=-\frac{47}{7}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{54}{7} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{47}{54}$$

x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7} मा y लाई \frac{47}{54} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{5}{7}\times \frac{47}{54}+\frac{12}{7}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{5}{7} लाई \frac{47}{54} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{235}{378}+\frac{12}{7}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{12}{7} लाई -\frac{235}{378} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{59}{54}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-5\times 8}&-\frac{5}{7\left(-2\right)-5\times 8}\\-\frac{8}{7\left(-2\right)-5\times 8}&\frac{7}{7\left(-2\right)-5\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}&\frac{5}{54}\\\frac{4}{27}&-\frac{7}{54}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\times 12+\frac{5}{54}\times 7\\\frac{4}{27}\times 12-\frac{7}{54}\times 7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{59}{54}\\\frac{47}{54}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

7x र 8x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 8 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 7 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$8\times 7x+8\times 5y=8\times 12,7\times 8x+7\left(-2\right)y=7\times 7$$

सरल गर्नुहोस्।

$$56x+40y=96,56x-14y=49$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 56x+40y=96 बाट 56x-14y=49 घटाउनुहोस्।

$$56x-56x+40y+14y=96-49$$

-56x मा 56x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 56x र -56x राशी रद्द हुन्छन्।

$$40y+14y=96-49$$

14y मा 40y जोड्नुहोस्

$$54y=96-49$$

-49 मा 96 जोड्नुहोस्

$$54y=47$$

दुबैतिर 54 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{47}{54}$$

8x-2y=7 मा y लाई \frac{47}{54} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$8x-2\times \frac{47}{54}=7$$

-2 लाई \frac{47}{54} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$8x-\frac{47}{27}=7$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{47}{27} जोड्नुहोस्।

$$8x=\frac{236}{27}$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{59}{54}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$