समाधान {l}{7x+4y=52}{4x-4y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 4 y = 52 } \\ { 4 x - 4 y = - 8 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=4$$

$$y=6$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$7x+4y=52$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 4y घटाउनुहोस्।

$$7x=-4y+52$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{7}\left(-4y+52\right)$$

\frac{1}{7} लाई -4y+52 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}$$

\frac{-4y+52}{7} लाई x ले अर्को समीकरण 4x-4y=-8 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}\right)-4y=-8$$

4 लाई \frac{-4y+52}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{16}{7}y+\frac{208}{7}-4y=-8$$

-4y मा -\frac{16y}{7} जोड्नुहोस्

$$-\frac{44}{7}y+\frac{208}{7}=-8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{208}{7} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{44}{7}y=-\frac{264}{7}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{44}{7} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=6$$

x=-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7} मा y लाई 6 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{4}{7}\times 6+\frac{52}{7}$$

-\frac{4}{7} लाई 6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-24+52}{7}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{52}{7} लाई -\frac{24}{7} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=4,y=6$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}&-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}&\frac{7}{7\left(-4\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{7}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 52+\frac{1}{11}\left(-8\right)\\\frac{1}{11}\times 52-\frac{7}{44}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=4,y=6$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

7x र 4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 7 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\times 7x+4\times 4y=4\times 52,7\times 4x+7\left(-4\right)y=7\left(-8\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$28x+16y=208,28x-28y=-56$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 28x+16y=208 बाट 28x-28y=-56 घटाउनुहोस्।

$$28x-28x+16y+28y=208+56$$

-28x मा 28x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 28x र -28x राशी रद्द हुन्छन्।

$$16y+28y=208+56$$

28y मा 16y जोड्नुहोस्

$$44y=208+56$$

56 मा 208 जोड्नुहोस्

$$44y=264$$

दुबैतिर 44 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=6$$

4x-4y=-8 मा y लाई 6 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4x-4\times 6=-8$$

-4 लाई 6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4x-24=-8$$

समीकरणको दुबैतिर 24 जोड्नुहोस्।

$$4x=16$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=4,y=6$$