समाधान {l}{6.5x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 6.5 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{112}{3} = 37\frac{1}{3} \approx 37.333333333$$

$$y = -\frac{701}{3} = -233\frac{2}{3} \approx -233.666666667$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$6.5x+y=9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$6.5x=-y+9$$

समीकरणको दुबैतिर 6.5 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=\frac{2}{13}\left(-y+9\right)$$

\frac{2}{13} लाई -y+9 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}$$

\frac{-2y+18}{13} लाई x ले अर्को समीकरण 1.6x+0.2y=13 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$1.6\left(-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}\right)+0.2y=13$$

1.6 लाई \frac{-2y+18}{13} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{16}{65}y+\frac{144}{65}+0.2y=13$$

\frac{y}{5} मा -\frac{16y}{65} जोड्नुहोस्

$$-\frac{3}{65}y+\frac{144}{65}=13$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{144}{65} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{3}{65}y=\frac{701}{65}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{3}{65} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{701}{3}$$

x=-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13} मा y लाई -\frac{701}{3} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{2}{13}\left(-\frac{701}{3}\right)+\frac{18}{13}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{2}{13} लाई -\frac{701}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{1402}{39}+\frac{18}{13}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{18}{13} लाई \frac{1402}{39} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{112}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{6.5\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{6.5\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{6.5\times 0.2-1.6}&\frac{6.5}{6.5\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{10}{3}\\\frac{16}{3}&-\frac{65}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 9+\frac{10}{3}\times 13\\\frac{16}{3}\times 9-\frac{65}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{112}{3}\\-\frac{701}{3}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

\frac{13x}{2} र \frac{8x}{5} लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1.6 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 6.5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$1.6\times 6.5x+1.6y=1.6\times 9,6.5\times 1.6x+6.5\times 0.2y=6.5\times 13$$

सरल गर्नुहोस्।

$$10.4x+1.6y=14.4,10.4x+1.3y=84.5$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 10.4x+1.6y=14.4 बाट 10.4x+1.3y=84.5 घटाउनुहोस्।

$$10.4x-10.4x+1.6y-1.3y=14.4-84.5$$

-\frac{52x}{5} मा \frac{52x}{5} जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै \frac{52x}{5} र -\frac{52x}{5} राशी रद्द हुन्छन्।

$$1.6y-1.3y=14.4-84.5$$

-\frac{13y}{10} मा \frac{8y}{5} जोड्नुहोस्

$$0.3y=14.4-84.5$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर 14.4 लाई -84.5 मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$0.3y=-70.1$$

समीकरणको दुबैतिर 0.3 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{701}{3}$$

1.6x+0.2y=13 मा y लाई -\frac{701}{3} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$1.6x+0.2\left(-\frac{701}{3}\right)=13$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी 0.2 लाई -\frac{701}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$1.6x-\frac{701}{15}=13$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{701}{15} जोड्नुहोस्।

$$1.6x=\frac{896}{15}$$

समीकरणको दुबैतिर 1.6 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=\frac{112}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$