समाधान {l}{6x+3y=25.95}{4x+6y=26.70}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = 25.95 } \\ { 4 x + 6 y = 26.70 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=3.15$$

$$y=2.35$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$6x+3y=25.95$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$6x=-3y+25.95$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+25.95\right)$$

\frac{1}{6} लाई -3y+25.95 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}$$

-\frac{y}{2}+\frac{173}{40} लाई x ले अर्को समीकरण 4x+6y=26.7 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}\right)+6y=26.7$$

4 लाई -\frac{y}{2}+\frac{173}{40} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-2y+\frac{173}{10}+6y=26.7$$

6y मा -2y जोड्नुहोस्

$$4y+\frac{173}{10}=26.7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{173}{10} घटाउनुहोस्।

$$4y=\frac{47}{5}$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{47}{20}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40} मा y लाई \frac{47}{20} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{47}{20}+\frac{173}{40}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{2} लाई \frac{47}{20} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{-47+173}{40}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{173}{40} लाई -\frac{47}{40} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{63}{20}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-3\times 4}&-\frac{3}{6\times 6-3\times 4}\\-\frac{4}{6\times 6-3\times 4}&\frac{6}{6\times 6-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 25.95-\frac{1}{8}\times 26.7\\-\frac{1}{6}\times 25.95+\frac{1}{4}\times 26.7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{20}\\\frac{47}{20}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

6x र 4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\times 6x+4\times 3y=4\times 25.95,6\times 4x+6\times 6y=6\times 26.7$$

सरल गर्नुहोस्।

$$24x+12y=103.8,24x+36y=160.2$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 24x+12y=103.8 बाट 24x+36y=160.2 घटाउनुहोस्।

$$24x-24x+12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

-24x मा 24x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 24x र -24x राशी रद्द हुन्छन्।

$$12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

-36y मा 12y जोड्नुहोस्

$$-24y=\frac{519-801}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर 103.8 लाई -160.2 मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$-24y=-56.4$$

दुबैतिर -24 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{47}{20}$$

4x+6y=26.7 मा y लाई \frac{47}{20} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4x+6\times \frac{47}{20}=26.7$$

6 लाई \frac{47}{20} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4x+\frac{141}{10}=26.7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{141}{10} घटाउनुहोस्।

$$4x=\frac{63}{5}$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{63}{20}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$