समाधान {l}{6x+2y=-6}{3x-y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 2 y = - 6 } \\ { 3 x - y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=1$$

$$y=-6$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6x+2y=-6,3x-y=9$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$6x+2y=-6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$6x=-2y-6$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y-6\right)$$

\frac{1}{6} लाई -2y-6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{3}y-1$$

-\frac{y}{3}-1 लाई x ले अर्को समीकरण 3x-y=9 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(-\frac{1}{3}y-1\right)-y=9$$

3 लाई -\frac{y}{3}-1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-y-3-y=9$$

-y मा -y जोड्नुहोस्

$$-2y-3=9$$

समीकरणको दुबैतिर 3 जोड्नुहोस्।

$$-2y=12$$

दुबैतिर -2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-6$$

x=-\frac{1}{3}y-1 मा y लाई -6 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{3}\left(-6\right)-1$$

-\frac{1}{3} लाई -6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=2-1$$

2 मा -1 जोड्नुहोस्

$$x=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1,y=-6$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$6x+2y=-6,3x-y=9$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6\left(-1\right)-2\times 3}&-\frac{2}{6\left(-1\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{6\left(-1\right)-2\times 3}&\frac{6}{6\left(-1\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\left(-6\right)+\frac{1}{6}\times 9\\\frac{1}{4}\left(-6\right)-\frac{1}{2}\times 9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-6\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=1,y=-6$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$6x+2y=-6,3x-y=9$$

6x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 6x+3\times 2y=3\left(-6\right),6\times 3x+6\left(-1\right)y=6\times 9$$

सरल गर्नुहोस्।

$$18x+6y=-18,18x-6y=54$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 18x+6y=-18 बाट 18x-6y=54 घटाउनुहोस्।

$$18x-18x+6y+6y=-18-54$$

-18x मा 18x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 18x र -18x राशी रद्द हुन्छन्।

$$6y+6y=-18-54$$

6y मा 6y जोड्नुहोस्

$$12y=-18-54$$

-54 मा -18 जोड्नुहोस्

$$12y=-72$$

दुबैतिर 12 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-6$$

3x-y=9 मा y लाई -6 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x-\left(-6\right)=9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 6 घटाउनुहोस्।

$$3x=3$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1,y=-6$$