समाधान {l}{6m-5n=-9}{4m+3n=13(5)}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 m - 5 n = - 9 } \\ { 4 m + 3 n = 13 ( 5 ) } \end{array} \right.$$

m, n को लागि हल गर्नुहोस्

$$m = \frac{149}{19} = 7\frac{16}{19} \approx 7.842105263$$

$$n = \frac{213}{19} = 11\frac{4}{19} \approx 11.210526316$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको m लाई अलग गरी m का लागि हल गर्नुहोस्।

$$6m-5n=-9$$

समीकरणको दुबैतिर 5n जोड्नुहोस्।

$$6m=5n-9$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$m=\frac{1}{6}\left(5n-9\right)$$

\frac{1}{6} लाई 5n-9 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}$$

\frac{5n}{6}-\frac{3}{2} लाई m ले अर्को समीकरण 4m+3n=65 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}\right)+3n=65$$

4 लाई \frac{5n}{6}-\frac{3}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{10}{3}n-6+3n=65$$

3n मा \frac{10n}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{19}{3}n-6=65$$

समीकरणको दुबैतिर 6 जोड्नुहोस्।

$$\frac{19}{3}n=71$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{19}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$n=\frac{213}{19}$$

m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2} मा n लाई \frac{213}{19} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले m लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$m=\frac{5}{6}\times \frac{213}{19}-\frac{3}{2}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{5}{6} लाई \frac{213}{19} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$m=\frac{355}{38}-\frac{3}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{3}{2} लाई \frac{355}{38} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$m=\frac{149}{19}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&\frac{6}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{5}{38}\\-\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\left(-9\right)+\frac{5}{38}\times 65\\-\frac{2}{19}\left(-9\right)+\frac{3}{19}\times 65\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{149}{19}\\\frac{213}{19}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू m र n लाई ता्नुहोस्।

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

6m र 4m लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\times 6m+4\left(-5\right)n=4\left(-9\right),6\times 4m+6\times 3n=6\times 65$$

सरल गर्नुहोस्।

$$24m-20n=-36,24m+18n=390$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 24m-20n=-36 बाट 24m+18n=390 घटाउनुहोस्।

$$24m-24m-20n-18n=-36-390$$

-24m मा 24m जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 24m र -24m राशी रद्द हुन्छन्।

$$-20n-18n=-36-390$$

-18n मा -20n जोड्नुहोस्

$$-38n=-36-390$$

-390 मा -36 जोड्नुहोस्

$$-38n=-426$$

दुबैतिर -38 ले भाग गर्नुहोस्।

$$n=\frac{213}{19}$$

4m+3n=65 मा n लाई \frac{213}{19} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले m लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4m+3\times \frac{213}{19}=65$$

3 लाई \frac{213}{19} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4m+\frac{639}{19}=65$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{639}{19} घटाउनुहोस्।

$$4m=\frac{596}{19}$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$m=\frac{149}{19}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$