समाधान {l}{50x+3y=1}{2x-4y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 50 x + 3 y = 1 } \\ { 2 x - 4 y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{19}{206}\approx 0.09223301$$

$$y = -\frac{124}{103} = -1\frac{21}{103} \approx -1.203883495$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$50x+3y=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$50x=-3y+1$$

दुबैतिर 50 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{50}\left(-3y+1\right)$$

\frac{1}{50} लाई -3y+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}$$

\frac{-3y+1}{50} लाई x ले अर्को समीकरण 2x-4y=5 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}\right)-4y=5$$

2 लाई \frac{-3y+1}{50} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{3}{25}y+\frac{1}{25}-4y=5$$

-4y मा -\frac{3y}{25} जोड्नुहोस्

$$-\frac{103}{25}y+\frac{1}{25}=5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{1}{25} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{103}{25}y=\frac{124}{25}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{103}{25} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{124}{103}$$

x=-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50} मा y लाई -\frac{124}{103} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{3}{50}\left(-\frac{124}{103}\right)+\frac{1}{50}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{3}{50} लाई -\frac{124}{103} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{186}{2575}+\frac{1}{50}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{1}{50} लाई \frac{186}{2575} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{19}{206}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{50\left(-4\right)-3\times 2}&-\frac{3}{50\left(-4\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{50\left(-4\right)-3\times 2}&\frac{50}{50\left(-4\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{103}&\frac{3}{206}\\\frac{1}{103}&-\frac{25}{103}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{103}+\frac{3}{206}\times 5\\\frac{1}{103}-\frac{25}{103}\times 5\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{206}\\-\frac{124}{103}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

50x र 2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 50 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\times 50x+2\times 3y=2,50\times 2x+50\left(-4\right)y=50\times 5$$

सरल गर्नुहोस्।

$$100x+6y=2,100x-200y=250$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 100x+6y=2 बाट 100x-200y=250 घटाउनुहोस्।

$$100x-100x+6y+200y=2-250$$

-100x मा 100x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 100x र -100x राशी रद्द हुन्छन्।

$$6y+200y=2-250$$

200y मा 6y जोड्नुहोस्

$$206y=2-250$$

-250 मा 2 जोड्नुहोस्

$$206y=-248$$

दुबैतिर 206 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{124}{103}$$

2x-4y=5 मा y लाई -\frac{124}{103} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2x-4\left(-\frac{124}{103}\right)=5$$

-4 लाई -\frac{124}{103} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2x+\frac{496}{103}=5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{496}{103} घटाउनुहोस्।

$$2x=\frac{19}{103}$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{19}{206}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$