समाधान {l}{50x+25y=4500}{y-x=30}

$$\left. \begin{array} { l } { 50 x + 25 y = 4500 } \\ { y - x = 30 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=50$$

$$y=80$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$50x+25y=4500,-x+y=30$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$50x+25y=4500$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 25y घटाउनुहोस्।

$$50x=-25y+4500$$

दुबैतिर 50 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{50}\left(-25y+4500\right)$$

\frac{1}{50} लाई -25y+4500 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{2}y+90$$

-\frac{y}{2}+90 लाई x ले अर्को समीकरण -x+y=30 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\left(-\frac{1}{2}y+90\right)+y=30$$

-1 लाई -\frac{y}{2}+90 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{2}y-90+y=30$$

y मा \frac{y}{2} जोड्नुहोस्

$$\frac{3}{2}y-90=30$$

समीकरणको दुबैतिर 90 जोड्नुहोस्।

$$\frac{3}{2}y=120$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{3}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=80$$

x=-\frac{1}{2}y+90 मा y लाई 80 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{2}\times 80+90$$

-\frac{1}{2} लाई 80 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-40+90$$

-40 मा 90 जोड्नुहोस्

$$x=50$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=50,y=80$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$50x+25y=4500,-x+y=30$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}50&25\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4500\\30\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}50&25\\-1&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&25\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&25\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&25\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4500\\30\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&25\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4500\\30\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&25\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4500\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{50-25\left(-1\right)}&-\frac{25}{50-25\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{50-25\left(-1\right)}&\frac{50}{50-25\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4500\\30\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{75}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{75}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4500\\30\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{75}\times 4500-\frac{1}{3}\times 30\\\frac{1}{75}\times 4500+\frac{2}{3}\times 30\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\80\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=50,y=80$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$50x+25y=4500,-x+y=30$$

50x र -x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 50 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-50x-25y=-4500,50\left(-1\right)x+50y=50\times 30$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-50x-25y=-4500,-50x+50y=1500$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -50x-25y=-4500 बाट -50x+50y=1500 घटाउनुहोस्।

$$-50x+50x-25y-50y=-4500-1500$$

50x मा -50x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -50x र 50x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-25y-50y=-4500-1500$$

-50y मा -25y जोड्नुहोस्

$$-75y=-4500-1500$$

-1500 मा -4500 जोड्नुहोस्

$$-75y=-6000$$

दुबैतिर -75 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=80$$

-x+y=30 मा y लाई 80 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-x+80=30$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 80 घटाउनुहोस्।

$$-x=-50$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=50$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=50,y=80$$