समाधान {l}{5y+8x=-18}{5y+2x=58}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y + 8 x = - 18 } \\ { 5 y + 2 x = 58 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{38}{3} = -12\frac{2}{3} \approx -12.666666667$$

$$y = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3} \approx 16.666666667$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5y+8x=-18$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 8x घटाउनुहोस्।

$$5y=-8x-18$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{5}\left(-8x-18\right)$$

\frac{1}{5} लाई -8x-18 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}$$

\frac{-8x-18}{5} लाई y ले अर्को समीकरण 5y+2x=58 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5\left(-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}\right)+2x=58$$

5 लाई \frac{-8x-18}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-8x-18+2x=58$$

2x मा -8x जोड्नुहोस्

$$-6x-18=58$$

समीकरणको दुबैतिर 18 जोड्नुहोस्।

$$-6x=76$$

दुबैतिर -6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{38}{3}$$

y=-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5} मा x लाई -\frac{38}{3} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=-\frac{8}{5}\left(-\frac{38}{3}\right)-\frac{18}{5}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{8}{5} लाई -\frac{38}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$y=\frac{304}{15}-\frac{18}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{18}{5} लाई \frac{304}{15} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$y=\frac{50}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-8\times 5}&-\frac{8}{5\times 2-8\times 5}\\-\frac{5}{5\times 2-8\times 5}&\frac{5}{5\times 2-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{4}{15}\times 58\\\frac{1}{6}\left(-18\right)-\frac{1}{6}\times 58\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{3}\\-\frac{38}{3}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 5y+8x=-18 बाट 5y+2x=58 घटाउनुहोस्।

$$5y-5y+8x-2x=-18-58$$

-5y मा 5y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 5y र -5y राशी रद्द हुन्छन्।

$$8x-2x=-18-58$$

-2x मा 8x जोड्नुहोस्

$$6x=-18-58$$

-58 मा -18 जोड्नुहोस्

$$6x=-76$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{38}{3}$$

5y+2x=58 मा x लाई -\frac{38}{3} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$5y+2\left(-\frac{38}{3}\right)=58$$

2 लाई -\frac{38}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$5y-\frac{76}{3}=58$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{76}{3} जोड्नुहोस्।

$$5y=\frac{250}{3}$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{50}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$