समाधान {l}{5x-y=8}{10x+3y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 8 } \\ { 10 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y=-2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5x-y=8$$

समीकरणको दुबैतिर y जोड्नुहोस्।

$$5x=y+8$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}\left(y+8\right)$$

\frac{1}{5} लाई y+8 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}$$

\frac{8+y}{5} लाई x ले अर्को समीकरण 10x+3y=6 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$10\left(\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}\right)+3y=6$$

10 लाई \frac{8+y}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2y+16+3y=6$$

3y मा 2y जोड्नुहोस्

$$5y+16=6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 16 घटाउनुहोस्।

$$5y=-10$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-2$$

x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5} मा y लाई -2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{8}{5}$$

\frac{1}{5} लाई -2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-2+8}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{8}{5} लाई -\frac{2}{5} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{6}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-10\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-10\right)}\\-\frac{10}{5\times 3-\left(-10\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}&\frac{1}{25}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 8+\frac{1}{25}\times 6\\-\frac{2}{5}\times 8+\frac{1}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\-2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

5x र 10x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 10 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$10\times 5x+10\left(-1\right)y=10\times 8,5\times 10x+5\times 3y=5\times 6$$

सरल गर्नुहोस्।

$$50x-10y=80,50x+15y=30$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 50x-10y=80 बाट 50x+15y=30 घटाउनुहोस्।

$$50x-50x-10y-15y=80-30$$

-50x मा 50x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 50x र -50x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-10y-15y=80-30$$

-15y मा -10y जोड्नुहोस्

$$-25y=80-30$$

-30 मा 80 जोड्नुहोस्

$$-25y=50$$

दुबैतिर -25 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-2$$

10x+3y=6 मा y लाई -2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$10x+3\left(-2\right)=6$$

3 लाई -2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$10x-6=6$$

समीकरणको दुबैतिर 6 जोड्नुहोस्।

$$10x=12$$

दुबैतिर 10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{6}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$