समाधान {l}{5x-8=y}{3x+2y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 8 = y } \\ { 3 x + 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{18}{13} = 1\frac{5}{13} \approx 1.384615385$$

$$y = -\frac{14}{13} = -1\frac{1}{13} \approx -1.076923077$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट y घटाउनुहोस्।

$$5x-8-y=0$$

दुबै छेउहरूमा 8 थप्नुहोस्। शून्यमा कुनै पनि अंक जोड्दा जोडफल सोही अंक बराबर नै हुन्छ।

$$5x-y=8$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5x-y=8$$

समीकरणको दुबैतिर y जोड्नुहोस्।

$$5x=y+8$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}\left(y+8\right)$$

\frac{1}{5} लाई y+8 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}$$

\frac{8+y}{5} लाई x ले अर्को समीकरण 3x+2y=2 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}\right)+2y=2$$

3 लाई \frac{8+y}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{3}{5}y+\frac{24}{5}+2y=2$$

2y मा \frac{3y}{5} जोड्नुहोस्

$$\frac{13}{5}y+\frac{24}{5}=2$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{24}{5} घटाउनुहोस्।

$$\frac{13}{5}y=-\frac{14}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{13}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{14}{13}$$

x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5} मा y लाई -\frac{14}{13} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{1}{5}\left(-\frac{14}{13}\right)+\frac{8}{5}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{1}{5} लाई -\frac{14}{13} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{14}{65}+\frac{8}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{8}{5} लाई -\frac{14}{65} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{18}{13}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट y घटाउनुहोस्।

$$5x-8-y=0$$

दुबै छेउहरूमा 8 थप्नुहोस्। शून्यमा कुनै पनि अंक जोड्दा जोडफल सोही अंक बराबर नै हुन्छ।

$$5x-y=8$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{5\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 8+\frac{1}{13}\times 2\\-\frac{3}{13}\times 8+\frac{5}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}\\-\frac{14}{13}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट y घटाउनुहोस्।

$$5x-8-y=0$$

दुबै छेउहरूमा 8 थप्नुहोस्। शून्यमा कुनै पनि अंक जोड्दा जोडफल सोही अंक बराबर नै हुन्छ।

$$5x-y=8$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

5x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 8,5\times 3x+5\times 2y=5\times 2$$

सरल गर्नुहोस्।

$$15x-3y=24,15x+10y=10$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 15x-3y=24 बाट 15x+10y=10 घटाउनुहोस्।

$$15x-15x-3y-10y=24-10$$

-15x मा 15x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 15x र -15x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-3y-10y=24-10$$

-10y मा -3y जोड्नुहोस्

$$-13y=24-10$$

-10 मा 24 जोड्नुहोस्

$$-13y=14$$

दुबैतिर -13 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{14}{13}$$

3x+2y=2 मा y लाई -\frac{14}{13} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x+2\left(-\frac{14}{13}\right)=2$$

2 लाई -\frac{14}{13} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x-\frac{28}{13}=2$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{28}{13} जोड्नुहोस्।

$$3x=\frac{54}{13}$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{18}{13}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$