समाधान {l}{5x-5y=5}{-6x+5y=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 5 y = 5 } \\ { - 6 x + 5 y = - 6 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=1$$

$$y=0$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5x-5y=5,-6x+5y=-6$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5x-5y=5$$

समीकरणको दुबैतिर 5y जोड्नुहोस्।

$$5x=5y+5$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}\left(5y+5\right)$$

\frac{1}{5} लाई 5+5y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=y+1$$

y+1 लाई x ले अर्को समीकरण -6x+5y=-6 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-6\left(y+1\right)+5y=-6$$

-6 लाई y+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-6y-6+5y=-6$$

5y मा -6y जोड्नुहोस्

$$-y-6=-6$$

समीकरणको दुबैतिर 6 जोड्नुहोस्।

$$-y=0$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=0$$

x=y+1 मा y लाई 0 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1,y=0$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x-5y=5,-6x+5y=-6$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-5\left(-6\right)\right)}&-\frac{-5}{5\times 5-\left(-5\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 5-\left(-5\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-5\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\-\frac{6}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-\left(-6\right)\\-\frac{6}{5}\times 5-\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=1,y=0$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5x-5y=5,-6x+5y=-6$$

5x र -6x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -6 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-6\times 5x-6\left(-5\right)y=-6\times 5,5\left(-6\right)x+5\times 5y=5\left(-6\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-30x+30y=-30,-30x+25y=-30$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -30x+30y=-30 बाट -30x+25y=-30 घटाउनुहोस्।

$$-30x+30x+30y-25y=-30+30$$

30x मा -30x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -30x र 30x राशी रद्द हुन्छन्।

$$30y-25y=-30+30$$

-25y मा 30y जोड्नुहोस्

$$5y=-30+30$$

30 मा -30 जोड्नुहोस्

$$5y=0$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=0$$

-6x+5y=-6 मा y लाई 0 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-6x=-6$$

दुबैतिर -6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1,y=0$$