समाधान {l}{5x-3y-4=34}{5y-3x-18=34}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y - 4 = 34 } \\ { 5 y - 3 x - 18 = 34 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{173}{8} = 21\frac{5}{8} = 21.625$$

$$y = \frac{187}{8} = 23\frac{3}{8} = 23.375$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5x-3y-4=34$$

समीकरणको दुबैतिर 4 जोड्नुहोस्।

$$5x-3y=38$$

समीकरणको दुबैतिर 3y जोड्नुहोस्।

$$5x=3y+38$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+38\right)$$

\frac{1}{5} लाई 3y+38 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}$$

\frac{3y+38}{5} लाई x ले अर्को समीकरण -3x+5y-18=34 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-3\left(\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}\right)+5y-18=34$$

-3 लाई \frac{3y+38}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{9}{5}y-\frac{114}{5}+5y-18=34$$

5y मा -\frac{9y}{5} जोड्नुहोस्

$$\frac{16}{5}y-\frac{114}{5}-18=34$$

-18 मा -\frac{114}{5} जोड्नुहोस्

$$\frac{16}{5}y-\frac{204}{5}=34$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{204}{5} जोड्नुहोस्।

$$\frac{16}{5}y=\frac{374}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{16}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{187}{8}$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5} मा y लाई \frac{187}{8} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{3}{5}\times \frac{187}{8}+\frac{38}{5}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{3}{5} लाई \frac{187}{8} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{561}{40}+\frac{38}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{38}{5} लाई \frac{561}{40} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{173}{8}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 38+\frac{3}{16}\times 52\\\frac{3}{16}\times 38+\frac{5}{16}\times 52\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{173}{8}\\\frac{187}{8}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

5x र -3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-3\times 5x-3\left(-3\right)y-3\left(-4\right)=-3\times 34,5\left(-3\right)x+5\times 5y+5\left(-18\right)=5\times 34$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-15x+9y+12=-102,-15x+25y-90=170$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -15x+9y+12=-102 बाट -15x+25y-90=170 घटाउनुहोस्।

$$-15x+15x+9y-25y+12+90=-102-170$$

15x मा -15x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -15x र 15x राशी रद्द हुन्छन्।

$$9y-25y+12+90=-102-170$$

-25y मा 9y जोड्नुहोस्

$$-16y+12+90=-102-170$$

90 मा 12 जोड्नुहोस्

$$-16y+102=-102-170$$

-170 मा -102 जोड्नुहोस्

$$-16y+102=-272$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 102 घटाउनुहोस्।

$$-16y=-374$$

दुबैतिर -16 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{187}{8}$$

-3x+5y-18=34 मा y लाई \frac{187}{8} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-3x+5\times \frac{187}{8}-18=34$$

5 लाई \frac{187}{8} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-3x+\frac{935}{8}-18=34$$

-18 मा \frac{935}{8} जोड्नुहोस्

$$-3x+\frac{791}{8}=34$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{791}{8} घटाउनुहोस्।

$$-3x=-\frac{519}{8}$$

दुबैतिर -3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{173}{8}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$