समाधान {l}{5x-3y=10}{6y=kx-42}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 10 } \\ { 6 y = k x - 42 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{22}{k-10}$$

$$y=-\frac{10\left(k-21\right)}{3\left(k-10\right)}$$

$$k\neq 10$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट kx घटाउनुहोस्।

$$6y-kx=-42$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5x-3y=10,\left(-k\right)x+6y=-42$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5x-3y=10$$

समीकरणको दुबैतिर 3y जोड्नुहोस्।

$$5x=3y+10$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+10\right)$$

\frac{1}{5} लाई 3y+10 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{5}y+2$$

\frac{3y}{5}+2 लाई x ले अर्को समीकरण \left(-k\right)x+6y=-42 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\left(-k\right)\left(\frac{3}{5}y+2\right)+6y=-42$$

-k लाई \frac{3y}{5}+2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(-\frac{3k}{5}\right)y-2k+6y=-42$$

6y मा -\frac{3ky}{5} जोड्नुहोस्

$$\left(-\frac{3k}{5}+6\right)y-2k=-42$$

समीकरणको दुबैतिर 2k जोड्नुहोस्।

$$\left(-\frac{3k}{5}+6\right)y=2k-42$$

दुबैतिर -\frac{3k}{5}+6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{10\left(k-21\right)}{3\left(10-k\right)}$$

x=\frac{3}{5}y+2 मा y लाई \frac{10\left(-21+k\right)}{3\left(-k+10\right)} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{3}{5}\times \frac{10\left(k-21\right)}{3\left(10-k\right)}+2$$

\frac{3}{5} लाई \frac{10\left(-21+k\right)}{3\left(-k+10\right)} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{2\left(k-21\right)}{10-k}+2$$

\frac{2\left(-21+k\right)}{-k+10} मा 2 जोड्नुहोस्

$$x=-\frac{22}{10-k}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{22}{10-k},y=\frac{10\left(k-21\right)}{3\left(10-k\right)}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट kx घटाउनुहोस्।

$$6y-kx=-42$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x-3y=10,\left(-k\right)x+6y=-42$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5\times 6-\left(-3\left(-k\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 6-\left(-3\left(-k\right)\right)}\\-\frac{-k}{5\times 6-\left(-3\left(-k\right)\right)}&\frac{5}{5\times 6-\left(-3\left(-k\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{10-k}&\frac{1}{10-k}\\\frac{k}{3\left(10-k\right)}&\frac{5}{3\left(10-k\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{10-k}\times 10+\frac{1}{10-k}\left(-42\right)\\\frac{k}{3\left(10-k\right)}\times 10+\frac{5}{3\left(10-k\right)}\left(-42\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{10-k}\\-\frac{10\left(21-k\right)}{3\left(10-k\right)}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{22}{10-k},y=-\frac{10\left(21-k\right)}{3\left(10-k\right)}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट kx घटाउनुहोस्।

$$6y-kx=-42$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5x-3y=10,\left(-k\right)x+6y=-42$$

5x र -kx लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -k ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(-k\right)\times 5x+\left(-k\right)\left(-3\right)y=\left(-k\right)\times 10,5\left(-k\right)x+5\times 6y=5\left(-42\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$\left(-5k\right)x+3ky=-10k,\left(-5k\right)x+30y=-210$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर \left(-5k\right)x+3ky=-10k बाट \left(-5k\right)x+30y=-210 घटाउनुहोस्।

$$\left(-5k\right)x+5kx+3ky-30y=-10k+210$$

5kx मा -5kx जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -5kx र 5kx राशी रद्द हुन्छन्।

$$3ky-30y=-10k+210$$

-30y मा 3ky जोड्नुहोस्

$$\left(3k-30\right)y=-10k+210$$

210 मा -10k जोड्नुहोस्

$$\left(3k-30\right)y=210-10k$$

दुबैतिर -30+3k ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{10\left(21-k\right)}{3\left(k-10\right)}$$

\left(-k\right)x+6y=-42 मा y लाई \frac{10\left(21-k\right)}{3\left(-10+k\right)} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$\left(-k\right)x+6\times \frac{10\left(21-k\right)}{3\left(k-10\right)}=-42$$

6 लाई \frac{10\left(21-k\right)}{3\left(-10+k\right)} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(-k\right)x+\frac{20\left(21-k\right)}{k-10}=-42$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{20\left(21-k\right)}{-10+k} घटाउनुहोस्।

$$\left(-k\right)x=-\frac{22k}{k-10}$$

दुबैतिर -k ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{22}{k-10}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{22}{k-10},y=\frac{10\left(21-k\right)}{3\left(k-10\right)}$$