समाधान {l}{5x-2y=16}{3x+5y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 16 } \\ { 3 x + 5 y = - 9 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=2$$

$$y=-3$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5x-2y=16,3x+5y=-9$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5x-2y=16$$

समीकरणको दुबैतिर 2y जोड्नुहोस्।

$$5x=2y+16$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+16\right)$$

\frac{1}{5} लाई 16+2y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}$$

\frac{16+2y}{5} लाई x ले अर्को समीकरण 3x+5y=-9 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}\right)+5y=-9$$

3 लाई \frac{16+2y}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{6}{5}y+\frac{48}{5}+5y=-9$$

5y मा \frac{6y}{5} जोड्नुहोस्

$$\frac{31}{5}y+\frac{48}{5}=-9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{48}{5} घटाउनुहोस्।

$$\frac{31}{5}y=-\frac{93}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{31}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-3$$

x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5} मा y लाई -3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{2}{5}\left(-3\right)+\frac{16}{5}$$

\frac{2}{5} लाई -3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-6+16}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{16}{5} लाई -\frac{6}{5} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=2,y=-3$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x-2y=16,3x+5y=-9$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-9\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-9\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-9\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\-\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-9\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 16+\frac{2}{31}\left(-9\right)\\-\frac{3}{31}\times 16+\frac{5}{31}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=2,y=-3$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5x-2y=16,3x+5y=-9$$

5x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3\times 16,5\times 3x+5\times 5y=5\left(-9\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$15x-6y=48,15x+25y=-45$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 15x-6y=48 बाट 15x+25y=-45 घटाउनुहोस्।

$$15x-15x-6y-25y=48+45$$

-15x मा 15x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 15x र -15x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-6y-25y=48+45$$

-25y मा -6y जोड्नुहोस्

$$-31y=48+45$$

45 मा 48 जोड्नुहोस्

$$-31y=93$$

दुबैतिर -31 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-3$$

3x+5y=-9 मा y लाई -3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x+5\left(-3\right)=-9$$

5 लाई -3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x-15=-9$$

समीकरणको दुबैतिर 15 जोड्नुहोस्।

$$3x=6$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=2,y=-3$$